SOS Giusp với #TeamRainbowFriends

Câu 3:

a) Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất \( n \) sao cho \( n \equiv 19 \mod{12} \), \( n \equiv 11 \mod{4} \), và \( n \equiv 4 \mod{1} \), ta thực hiện theo các bước sau:

1. Điều kiện 1: \( n \equiv 19 \mod{12} \) tương đương với \( n \equiv 7 \mod{12} \) (vì \( 19 - 12 = 7 \)).
2. Điều kiện 2: \( n \equiv 11 \mod{4} \) tương đương với \( n \equiv 3 \mod{4} \) (vì \( 11 - 8 = 3 \)).
3. Điều kiện 3: \( n \equiv 4 \mod{1} \) là luôn đúng với mọi số tự nhiên.

Ta cần tìm \( n \) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \( n \equiv 7 \mod{12} \) và \( n \equiv 3 \mod{4} \).

Xét số \( n = 12k + 7 \) (với \( k \) là số nguyên không âm), thay vào điều kiện thứ hai:

\[
12k + 7 \equiv 3 \mod{4}
\]

Giải:

- \( 12k \equiv 0 \mod{4} \) (vì 12 chia hết cho 4),
- \( 7 \equiv 3 \mod{4} \).

Do đó:

\[
0 + 3 \equiv 3 \mod{4}
\]

Điều này đúng với mọi giá trị của \( k \). Vậy, ta chỉ cần đếm giá trị nhỏ nhất:

Khi \( k = 0 \): \( n = 12(0) + 7 = 7 \)

Khi \( k = 1 \): \( n = 12(1) + 7 = 19 \)

Số nhỏ nhất là 7.

b) Tìm số nguyên \( x \) và \( y \) sao cho \( 3x'y - x + xy = 6 \).

Ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
3xy - x + xy = 6
\]

Tính toán lại:

\[
(3x + y)x = 6
\]

Tính giá trị của \( x \):

1. Khi \( y = 0 \):
\[
3x(0)x - x = 6 \rightarrow -x = 6 \quad \text{sai}
\]

2. Khi \( y = 1 \):
\[
3x(1)x - x + x = 6 \rightarrow 3x^2 = 6 \quad \Rightarrow x^2 = 2 \quad \text{không phải số nguyên}
\]

3. Khi \( y = 2 \):
\[
3x(2)x - x + 2x = 6 \rightarrow 6x^2 = 6 \quad \Rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = 1 \text{ hoặc } -1
\]

Vậy cặp số nguyên là \( (1, 2) \) và \( (-1, 2) \).

Cuối cùng, các giá trị \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình là:

- \( (1, 2) \)
- \( (-1, 2) \)