a)Tìm tất cả các số nguyên n thỏa mãn :n^2+2 chia hết cho 3n + 1 b) Tìm tất cả các số nguyên n thỏa mãn :n^3+2n chia hết cho n-1

a) Để tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn phương trình \( n^2 + 2 \) chia hết cho \( 3n + 1 \), ta xét điều kiện chia hết.

Ta có thể viết \( n^2 + 2 = k(3n + 1) \) với k là một số nguyên. Điều này tương đương với \( n^2 + 2 - k(3n + 1) = 0 \). Sau khi sắp xếp lại, ta có phương trình bậc hai:

\[
n^2 - 3kn + (2 - k) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, delta (Δ) phải là một số chính phương. Tính delta như sau:

\[
\Delta = (-3k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - k) = 9k^2 - 8 + 4k = 9k^2 + 4k - 8
\]

Ta cần điều kiện là \( \Delta \geq 0 \), tức là:

\[
9k^2 + 4k - 8 \geq 0
\]

Giải bất phương trình này sẽ cho ra các giá trị của k để kiểm tra. Sau khi có k, ta tính nghiệm của phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:

\[
n = \frac{3k \pm \sqrt{9k^2 + 4k - 8}}{2}
\]

Tiếp theo, chúng ta kiểm tra từng giá trị của n có thỏa mãn \( n^2 + 2 \equiv 0 \mod (3n + 1) \) hay không.

b) Để tìm tất cả các số nguyên n thỏa mãn điều kiện \( n^3 + 2n \) chia hết cho \( n - 1 \), ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng chia tận cùng.

Khi chia \( n^3 + 2n \) cho \( n - 1 \), ta có thể sử dụng định lý dư. Đầu tiên, ta thay n bằng 1 trong biểu thức \( n^3 + 2n \):

\[
n^3 + 2n = 1^3 + 2 \cdot 1 = 3
\]

Điều này có nghĩa là số dư khi chia cho \( n - 1 = 0 \) khi n = 1 là 3. Để \( n - 1 \) chia hết \( n^3 + 2n \), nghĩa là \( n - 1 \) phải chia hết cho 3. Nghĩa là:

\[
n - 1 = k \cdot 3 \quad với \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Từ đó, ta có thể tìm ra các số nguyên n theo phương trình:

\[
n = 3k + 1
\]

Vì vậy, n có dạng \( n = 3k + 1 \), với k là các số nguyên. Kết luận là tất cả các số nguyên có thể được biểu diễn theo dạng này sẽ thỏa mãn điều kiện ban đầu.