so sánh A= $frac{1}{3}$+ $frac{1}{3^{2}}$ +$frac{1}{3^{3}}$ +...+$frac{1}{3^{98}}$ +$frac{1}{3^{99}}$ và $frac{1}{2}$

Để so sánh A với $\frac{1}{2}$, trước tiên ta cần tính giá trị của A. A là tổng của một dãy số hình học:

A = $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{99}}$.

Đây là một dãy số hình học với:
- Hệ số đầu tiên (a) là $\frac{1}{3}$.
- Tỷ lệ (r) là $\frac{1}{3}$ (bởi vì mỗi số hạng đều giảm bớt đi $\frac{1}{3}$ lần so với số hạng trước đó).
- Số hạng cuối cùng là $\frac{1}{3^{99}}$.

Công thức tính tổng của dãy số hình học là:
S_n = a * $\frac{1 - r^n}{1 - r}$, trong đó n là số lượng hạng trong dãy.

Trong trường hợp này, số hạng đầu tiên a = $\frac{1}{3}$, tỷ lệ r = $\frac{1}{3}$ và n = 99.

Áp dụng công thức, ta có:

A = $\frac{1}{3} * \frac{1 - (\frac{1}{3})^{99}}{1 - \frac{1}{3}}$

= $\frac{1}{3} * \frac{1 - \frac{1}{3^{99}}}{\frac{2}{3}}$

= $\frac{1}{3} \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^{99}})$

= $\frac{1}{2} * (1 - \frac{1}{3^{99}})$.

Bây giờ, để so sánh A với $\frac{1}{2}$, ta nhận thấy:

A = $\frac{1}{2} * (1 - \frac{1}{3^{99}})$.

Vì $\frac{1}{3^{99}}$ là một số dương rất nhỏ (gần bằng 0), nên (1 - $\frac{1}{3^{99}}$) là một số dương nhỏ hơn 1.

Từ đó, A sẽ nhỏ hơn $\frac{1}{2}$.

Kết luận là A < $\frac{1}{2}$.