Cho △ABC vuông tại A(AB > AC), trung tuyến AM. Kẻ MD ⊥ AB tại D, ME ⊥ AC tại Ea) Chứng minh tứ giác ADME là hìình chữ nhậtb) Gọi O là trung điểm của ME. Chứng minh DM = EC và 3 điểm D, O, C thẳng hàngc)

a) Để chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng các cạnh AD và ME vuông góc với nhau và AD = ME.

Xét △ABC vuông tại A, trung tuyến AM có đặc điểm là AM = ½ BC và AM vuông góc với cạnh BC. Cạnh AB > AC có nghĩa là D nằm trên AB và E nằm trên AC, từ đó MD ⊥ AB và ME ⊥ AC.

Từ đó, ta có thể thấy rằng góc ADM = 90° và góc AEM = 90°. Do đó, tứ giác ADME có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau, tức là AD ⊥ ME và AM ⊥ AE. Ngoài ra, AD = ME (do AM là trung tuyến và D, E là hai điểm trên các cạnh AB và AC) nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

b) Gọi O là trung điểm của ME, ta chứng minh DM = EC và 3 điểm D, O, C thẳng hàng.

Để chứng minh DM = EC, ta lưu ý rằng D và E lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống các cạnh AB và AC. Trong tam giác vuông tại A, vì M là trung tuyến nên AM = ½ BC, từ đó suy ra DM = EC.

Tiếp theo, ta xét đường thẳng DO. Vì O là trung điểm của ME nên MO = OE, từ đó D, O, và C là thẳng hàng vì DM và EC là các đoạn thẳng vuông góc với AD và AC tương ứng.

c) Để chứng minh AK ⊥ IC, ta bắt đầu từ việc kẻ đường cao AH của △ABC. Chọn I và K trên các tia đối của HA và HB sao cho HI = HA và HK = HB. Khi đó, HI chính là đường cao hạ từ H và HK cũng là đường cao hạ từ H, nghĩa là cả hai đều nằm trong mối liên hệ vuông góc với các cạnh của tam giác.

Do đó, với các điểm I, H, A và K như trên, ta có thể chứng minh rằng góc AKI là góc vuông vì các đường cao trong một tam giác vuông luôn vuông góc với cạnh huyền của tam giác đó. Do vậy, AK ⊥ IC.