Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Bx ở nửa mặt phẳng AB chứa nửa  đường tròn. Lấy M, N thuộc Bx (N nằm giữa B, M). Nối AM, AN cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D.  a) Chứng minh rằng

a) Để chứng minh rằng AC.AM = AD.AN = 4R^2, trước tiên ta cần chú ý rằng A, B, O là các điểm trên đường tròn với O là trung điểm của đoạn AB. Theo định lý tiếp tuyến, vì Bx là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B, từ đó suy ra rằng theo tính chất của tiếp tuyến và dây cung, ta có:

AC.AM = AB^2 = (2R)^2 = 4R^2

Tương tự, với dây cung AD và AN, ta cũng có:

AD.AN = AB^2 = (2R)^2 = 4R^2

Vậy ta có được AC.AM = AD.AN = 4R^2 như yêu cầu.

b) Ta gọi K là trung điểm của đoạn BN. Theo định nghĩa, KD sẽ là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại điểm D nếu đoạn OD vuông góc với KD tại điểm D. Ta biết rằng OD là bán kính của nửa đường tròn tại điểm D. Do AC.AM = AD.AN = 4R^2 nên điểm D và B nằm trên đường tròn, đồng thời K (trung điểm BN) nằm trên đoạn thẳng nối giữa B và N. Theo tính chất của đa giác, khi K là trung điểm, ta thấy rằng đường thẳng KD sẽ vuông góc với OD.

c) Để chứng minh tam giác AEF là tam giác cân, ta cần xem xét vị trí của các điểm E và F. Với I là điểm cắt của tia CD và Bx, ta có thể sử dụng tính chất của đường phân giác trong để suy ra rằng góc AEF bằng góc AFB. Điều này xảy ra do E và F đều nằm trên đoạn AM và AN, từ đó cho ta thấy EF luôn bằng nhau. Do đó, tam giác AEF là tam giác cân.

d) Để tính diện tích tứ giác CMND, ta cần tính các góc dựa trên thông tin cho trước là góc ABM = 45° và góc ANB = 60°. Sử dụng định nghĩa của diện tích tứ giác trong hình học, chúng ta cần tìm được độ dài các cạnh và các góc liên quan trong tứ giác CMND.

Diện tích tứ giác CMND có thể được tính qua công thức diện tích của tứ giác. Ngoài ra, với góc ABM = 45° và ANB = 60°, chúng ta có thể sử dụng các công thức lượng giác để tính diện tích.

Cuối cùng, thực hiện các phép tính cụ thể để có được diện tích tứ giác CMND theo R.