Giúp mình ,nếu có thể cho ctlhn Chứng tỏ rằng  A=2+2mũ2+2mũ3+2mũ4+2mũ5+…+2mũ58+2mũ59+2mũ60 chia hết cho 7

Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{60} \) chia hết cho 7, ta có thể sử dụng tính chất của dãy số mũ của 2 theo modulo 7.

Trước hết, ta tính giá trị của \( 2^n \mod 7 \) cho các giá trị nhỏ hơn 7:

- \( 2^0 \mod 7 = 1 \)
- \( 2^1 \mod 7 = 2 \)
- \( 2^2 \mod 7 = 4 \)
- \( 2^3 \mod 7 = 1 \)
- \( 2^4 \mod 7 = 2 \)
- \( 2^5 \mod 7 = 4 \)
- \( 2^6 \mod 7 = 1 \)

Ta nhận thấy rằng chu kỳ của \( 2^n \mod 7 \) là 3, tức là:

- \( 2^{3k} \equiv 1 \mod 7 \)
- \( 2^{3k+1} \equiv 2 \mod 7 \)
- \( 2^{3k+2} \equiv 4 \mod 7 \)

Bây giờ ta xác định số lượng các hạng tử trong chuỗi từ \( 2^1 \) đến \( 2^{60} \). Tổng cộng có 60 hạng tử. Chúng ta sẽ chia 60 cho 3, ta có:

- Số hạng tử chia theo trường hợp \( 2^{3k} \): từ \( k = 0 \) đến \( k = 19 \) (tổng cộng 20 hạng tử)
- Số hạng tử chia theo trường hợp \( 2^{3k+1} \): từ \( k = 0 \) đến \( k = 19 \) (tổng cộng 20 hạng tử)
- Số hạng tử chia theo trường hợp \( 2^{3k+2} \): từ \( k = 0 \) đến \( k = 19 \) (tổng cộng 20 hạng tử)

Ta tính tổng \( A \) modulo 7 như sau:

- Tổng hạng tử trong trường hợp \( 2^{3k} \) (có 20 hạng tử): \( 20 \times 1 \equiv 20 \mod 7 \equiv 6 \)
- Tổng hạng tử trong trường hợp \( 2^{3k+1} \) (có 20 hạng tử): \( 20 \times 2 \equiv 40 \mod 7 \equiv 5 \)
- Tổng hạng tử trong trường hợp \( 2^{3k+2} \) (có 20 hạng tử): \( 20 \times 4 \equiv 80 \mod 7 \equiv 3 \)

Giờ ta cộng các kết quả lại:

\( 6 + 5 + 3 \equiv 14 \mod 7 \equiv 0 \)

Kết luận, tổng \( A \) chia hết cho 7.