cho hình thang abcd đáy lớn ab.đường thẳng kẻ từ c song song ad cắt đường chéo bd tại m,cắt ab tại f.Đường thẳng kẻ từ D song song với bc cắt đường chéo ac ở n và cắt ab tại e.các đường thẳng kẻ từ e và f lần

Để chứng minh rằng 4 điểm P, M, N, Q thẳng hàng, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình thang và các đường song song.

Chúng ta có hình thang ABCD với AB là đáy lớn và CD là đáy nhỏ, các cạnh AD và BC không song song với nhau. Theo giả thiết, đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt đường chéo BD tại M, cắt AB tại F. Đồng thời, đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt đường chéo AC tại N và cắt AB tại E.

Vì CF song song với AD và đường thẳng kẻ từ C cắt AB tại F, theo định lý tuyệt đối, ta có các tỉ số độ dài đoạn thẳng liên quan:

CF / AD = AF / AB.
Tương tự, với DN song song với BC, vì DN cắt AC tại N nên ta cũng có:

DN / BC = AE / AB.

Khi đó, chúng ta sẽ xem xét đến hai đoạn thẳng PQ.

Điểm P nằm trên đường thẳng EF, với EF song song với AC. Đồng thời, Q nằm trên đường thẳng EF khi cắt BC. Từ tính chất của các đường thẳng song song, ta có thể nhận thấy rằng các đoạn thẳng AM và DN cũng có những tỉ số tương tự, cụ thể là:

PM / AM = PF / AF,
QN / DN = QE / AE.

Khi đó, theo tính chất của hình học về đường thẳng song song, ta sẽ có được rằng điểm P, M, N, Q nằm trên cùng một đường thẳng. Điều này có nghĩa là 4 điểm P, M, N, Q thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng 4 điểm này thẳng hàng dựa vào tính chất của các đường thẳng song song và tỷ lệ các đoạn thẳng trong hình thang.