cho 2 số thực không âm a,b sao cho căn(a+3) + căn(b+3) =4. tìm giá trị lớn nhất của p = a + b

Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

√(a + 3) + √(b + 3) = 4.

Đặt x = √(a + 3) và y = √(b + 3). Khi đó, ta có:

x + y = 4.

Từ đó, ta có a = x² - 3 và b = y² - 3. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của p = a + b = (x² - 3) + (y² - 3) = x² + y² - 6.

Bây giờ, chúng ta sử dụng phương trình x + y = 4 để tìm x² + y². Theo định lý tích của hai số, ta có:

(x + y)² = x² + y² + 2xy.

Suy ra:

4² = x² + y² + 2xy,
16 = x² + y² + 2xy,
x² + y² = 16 - 2xy.

Chúng ta cần tối đa hóa p = x² + y² - 6. Như vậy, nếu muốn tối đa hóa x² + y², ta cần tối thiểu hóa 2xy. Gọi z = xy. Khi đó, ta có:

x² + y² = 16 - 2z,
p = 10 - 2z.

Để tìm trị tối thiểu của z, ta biết rằng với x + y = 4, giá trị của xy sẽ nhỏ nhất khi x và y đồng đều nhau (theo bất đẳng thức AM-GM), tức là x = y = 2. Khi đó:

xy = 2 * 2 = 4.

Do đó, tối thiểu của z = 4. Thay vào p, ta có:

p = 10 - 2*4 = 10 - 8 = 2.

Giá trị lớn nhất của p = a + b = 2 xảy ra khi x = y = 2, từ đó ta tính được:

a = x² - 3 = 2² - 3 = 1,
b = y² - 3 = 2² - 3 = 1.

Vậy, giá trị lớn nhất của p = a + b là 2.