cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Các đường cao BE,CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của BC . Từ B gọi kẻ đường thẳng vuông góc với AB và từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC hai đường thẳng này

a. Để chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

- Xét hai cạnh BH và CK. Từ định nghĩa đường cao, ta có BE vuông góc với AC tại E, và CF vuông góc với AB tại F. Do đó, góc ABE = 90 độ và góc ACF = 90 độ.
- Khi kẻ đường thẳng vuông góc từ B đến AB và từ C đến AC, ta có BK vuông góc với AB và CK vuông góc với AC.
- Vì vậy, tứ giác BHCK có BH // CK và BH = CK do hai đường thẳng vuông góc.

Từ đó, chúng ta phát hiện ra BHCK có hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau, suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành.

b. Để chứng minh H, M, K thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của trung điểm M. M là trung điểm của BC, có nghĩa là BM = MC.

- Khi K là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với AB và AC kẻ từ B và C tương ứng, theo định nghĩa, ta có BK // AC và CK // AB.
- H là giao điểm của các đường cao, do đó H cách đều B và C trên đường cao. Vì H, M là các điểm nằm trên cùng một đường thẳng kết nối B và C, khi cộng thêm K với tính chất như trên, ta có H, M, K thẳng hàng.

c. Để chứng minh tam giác MEF là tam giác cân, ta xem xét các đoạn ME và MF.

- M là trung điểm của BC, do vậy BM = MC.
- H là giao điểm của đường cao, từ đó dẫn đến việc độ dài HE = HF.
- Khi đó, MA = MB + MC = ME + MF, từ đó ta nhận thấy ME = MF, và như vậy tam giác MEF có hai cạnh bằng nhau.

Kết quả là tam giác MEF là tam giác cân.