A=3+3^2+3^3+....+3^39 chia hết cho 13

Để giải bài toán A = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^39 chia hết cho 13, trước tiên chúng ta nhận thấy rằng A là một chuỗi số hình thành từ các lũy thừa của 3.

Chúng ta có thể tính A bằng công thức của tổng một cấp số nhân. Tổng quát, tổng của một cấp số nhân có dạng:

S = a + ar + ar^2 + ... + ar^n = a * (1 - r^(n+1)) / (1 - r)

Trong trường hợp này:
- a = 3 (là hạng tử đầu tiên),
- r = 3 (là cơ số),
- n = 39 (là số hạng cuối cùng, với các số hạng tính từ 1 đến 39).

Áp dụng công thức trên, ta có:

A = 3 (1 - 3^39) / (1 - 3) = 3 (1 - 3^39) / (-2) = -3/2 * (1 - 3^39)

Tuy nhiên, dấu âm có thể làm cho việc quan sát số trở nên phức tạp, vì vậy để dễ dàng hơn, ta sẽ sửa lại:

A = (3 (3^40 - 1)) / (3 - 1) = (3/2) (3^40 - 1)

Tiếp theo, chúng ta cần xem xét điều kiện 3^40 - 1 có chia hết cho 13 hay không. Chúng ta có thể sử dụng định lý Ferma và tính toán modulo.

Theo định lý Fermat, nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Đối với p = 13, ta có:

3^(12) ≡ 1 (mod 13)

Vì vậy, để tìm 3^40 mod 13, chúng ta có thể viết:

40 mod 12 = 4

Do đó,

3^40 mod 13 = 3^4 mod 13.

Bây giờ hãy tính 3^4:

3^4 = 81.

Tiếp theo, tính 81 mod 13:

81 chia 13 cho ra 6 dư 3 (81 = 6*13 + 3), tức là:

3^4 ≡ 3 (mod 13).

Vì vậy:

3^40 - 1 ≡ 3 - 1 ≡ 2 (mod 13).

Do đó, A = (3/2) * (3^40 - 1) sẽ trở thành:

A ≡ (3/2) * 2 = 3 (mod 13).

Hệ quả là A không chia hết cho 13 vì kết quả cuối cùng là dư 3. Vậy, A không chia hết cho 13.