Chứng minh (x+y)^2/4>=xy Giup

Để chứng minh bất đẳng thức \(\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy\), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phát triển biểu thức.

Bước 1: Phát triển biểu thức ở bên trái bất đẳng thức.
\[
\frac{(x+y)^2}{4} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4}
\]

Bước 2: So sánh với \(xy\).
Ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{x^2 + 2xy + y^2}{4} \geq xy
\]

Bước 3: Nhân cả hai vế với 4 để đơn giản hóa bất đẳng thức:
\[
x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy
\]

Bước 4: Đưa tất cả về một phía:
\[
x^2 + 2xy + y^2 - 4xy \geq 0
\]
\[
x^2 - 2xy + y^2 \geq 0
\]

Bước 5: Nhìn vào biểu thức \(x^2 - 2xy + y^2\), chúng ta nhận thấy đó là một bình phương:
\[
x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2
\]

Bước 6: Bất đẳng thức \((x - y)^2 \geq 0\) luôn đúng với mọi \(x\) và \(y\) vì bình phương của bất cứ số nào cũng không âm.

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy
\]
với mọi \(x, y\) thực.