cho A=2+2^2+2^3+....+2^60 chứng tỏ A chia hết cho 3 ,5,7

Để chứng tỏ A chia hết cho 3, ta cần chứng minh tổng các số hạng trong A chia hết cho 3. Ta có:

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60

Nhận xét rằng các số hạng trong A có dạng 2^n, với n là số nguyên không âm từ 1 đến 60. Trong đó, khi n chia hết cho 3, ta có 2^n chia hết cho 3, vì 2^3 = 8 chia dư 2 khi chia cho 3. Do đó, tổng các số hạng trong A khi chỉ tính toán các số mũ có dạng 3k + 1 (với k = 0, 1, 2, ..., 19) chia hết cho 3. Cụ thể:

2^1 + 2^4 + 2^7 + ... + 2^58

= 2^1(1 + 2^3 + 2^6 + ... + 2^57)

= 2(2^3 - 1)(1 + 2^3 + 2^6 + ... + 2^54)

= 2(2^3 - 1) / (1 - 2^3)

= 2(7)

= 14

Vậy tổng các số hạng trong A chia hết cho 3.

Để chứng tỏ A chia hết cho 5, ta cần chứng minh tổng các số hạng trong A chia hết cho 5. Ta có:

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60

Nhận xét rằng các số hạng trong A có dạng 2^n, với n là số nguyên không âm từ 1 đến 60. Trong đó, khi n chia hết cho 4, ta có 2^n chia hết cho 5, vì 2^4 = 16 chia dư 1 khi chia cho 5. Do đó, tổng các số hạng trong A khi chỉ tính toán các số mũ có dạng 4k + 1 (với k = 0, 1, 2, ..., 14) chia hết cho 5. Cụ thể:

2^1 + 2^5 + 2^9 + ... + 2^57

= 2^1(1 + 2^4 + 2^8 + ... + 2^56)

= 2(2^4 - 1)(1 + 2^4 + 2^8 + ... + 2^52)

= 2(2^4 - 1) / (1 - 2^4)

= 2(31)

= 62

Vậy tổng các số hạng trong A chia hết cho 5.

Để chứng tỏ A chia hết cho 7, ta cần chứng minh tổng các số hạng trong A chia hết cho 7. Ta có:

A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60

Nhận xét rằng các số hạng trong A có dạng 2^n, với n là số nguyên không âm từ 1 đến 60. Trong đó, khi n chia hết cho 6, ta có 2^n chia hết cho 7, vì 2^6 = 64 chia dư 1 khi chia cho 7. Do đó, tổng các số hạng trong A khi chỉ tính toán các số mũ có dạng 6k + 1 (với k = 0, 1, 2, ..., 9) chia hết cho 7. Cụ thể:

2^1 + 2^7 + 2^13 + ... + 2^55

= 2^1(1 + 2^6 + 2^12 + ... + 2^54)

= 2(2^6 - 1)(1 + 2^6 + 2^12 + ... + 2^48)

= 2(2^6 - 1) / (1 - 2^6)

= 2(127)

= 254

Vậy tổng các số hạng trong A chia hết cho 7.