Tính: a.A=1/-2 .1/3 +1/-3 .1/4+.................+1/-9.1/10

Để tính giá trị của biểu thức:

\[ A = \frac{1}{-2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{-3} \cdot \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{-9} \cdot \frac{1}{10} \]

Chúng ta sẽ xem xét từng phần tử trong dãy này:

1. Phân tích từng phần tử:
- Phần tử đầu tiên: \(\frac{1}{-2} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{6}\)
- Phần tử thứ hai: \(\frac{1}{-3} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{12}\)
- Phần tử thứ ba: \(\frac{1}{-4} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{20}\)
- ...

2. Nhận xét chung về dạng của phần tử:
- Mỗi phần tử trong dãy có dạng \(\frac{1}{-n} \cdot \frac{1}{n+1} = -\frac{1}{n(n+1)}\).

3. Phân tích phần tử này:
- Ta có thể viết lại \(-\frac{1}{n(n+1)} = \frac{-1}{n} + \frac{1}{n+1}\) nhờ vào phân tích tử số thành các phân số riêng biệt:
\[
\frac{-1}{n(n+1)} = \frac{-(n+1) + n}{n(n+1)} = \frac{-n-1+n}{n(n+1)} = \frac{-1}{n} + \frac{1}{n+1}
\]

4. Tổng hợp các phần tử:
- Khi ta tính tổng các phần tử từ \(n=2\) đến \(n=9\):
\[
A = \left( \frac{-1}{2} + \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{-1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{-1}{9} + \frac{1}{10} \right)
\]
- Nhận thấy rằng các phần tử \(-1/n\) và \(1/(n+1)\) sẽ tự triệt tiêu nhau khi tổng hợp, chỉ còn lại:
\[
\frac{-1}{2} + \frac{1}{10} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{10} = -\frac{5}{10} + \frac{1}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}
\]

Vậy giá trị của \(A\) là:

\[ A = -\frac{2}{5} \]