Cho △ABC vuông tại A, AH là độ cao (H ∈ BC). Gọi C là điểm và AC lấy không bắt kỳ. Gọi D là hình chiếu của A lên BK. a) Chứng minh: bốn điểm A, D, H, B cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: HK cos(ABR) = CD.sin(ACB).

a) Để chứng minh bốn điểm A, D, H, B cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng góc nội tiếp.

Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có AH là độ cao từ A xuống cạnh BC. Điều này có nghĩa là góc AHB bằng 90 độ. Tương tự, vì D là hình chiếu của A lên BK, nên góc ADB cũng bằng 90 độ.

Theo tính chất của góc nội tiếp, hai cặp góc AHB và ADB đều bằng 90 độ. Một tập hợp bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện là 180 độ.

Ta xét tổng:

∠AHB + ∠ADB = 90° + 90° = 180°

Do đó, bốn điểm A, D, H, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh HK cos(ABR) = CD.sin(ACB), ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa các đoạn thẳng này trong tam giác vuông ABC.

Ta có:

- HK là độ dài đoạn thẳng từ H đến K.
- cos(ABR) là tỉ số giữa cạnh kề (AC) với cạnh huyền (AB) trong tam giác vuông AHB.
- CD là đoạn thẳng từ C đến D.
- sin(ACB) là tỉ số giữa cạnh đối (AH) với cạnh huyền (AC) trong tam giác vuông AHC.

Theo định nghĩa của cos và sin trong tam giác vuông, ta có:

HK = AH * sin(ACB) \\
CD = AB * cos(ABR)

Khi tính nghiệm, ta có:

HK cos(ABR) = AH sin(ACB) (AB cos(ABR))

Dễ dàng nhận thấy hệ số của AH là một hệ số không đổi, và góc trị số sẽ cho ta mối quan hệ trên.

Vì vậy, điều này chứng tỏ rằng HK cos(ABR) = CD*sin(ACB) là đúng.