cho a = 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 + 2 mũ 4 + chấm chấm chấm + 2 mũ 2021 + 2 mũ 2022 tìm số dư khi a chia 15

Để tìm số dư của a = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2022 khi chia cho 15, trước hết ta nhận thấy đây là một tổng hình thành theo cấp số mũ.

Tổng a có thể được tính theo công thức tổng của một cấp số sa sút. Đầu tiên, ta có:

Tổng a = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2022 = 2 * (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^2021)

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

1 + r + r^2 + ... + r^n = (r^(n+1) - 1) / (r - 1) với r = 2 và n = 2021:

Tổng = 1 * (2^(2022) - 1) / (2 - 1) = 2^(2022) - 1

Do đó, a = 2 * (2^(2022) - 1) = 2^(2023) - 2.

Tiếp theo, ta cần tìm số dư của 2^(2023) - 2 khi chia cho 15. Để làm những tính toán này dễ dàng hơn, ta cũng nên xem xét quy luật của số mũ 2 khi chia cho 15.

Ta có thể tính các số dư của 2^n khi n tăng dần:

- 2^1 = 2 (số dư 2)
- 2^2 = 4 (số dư 4)
- 2^3 = 8 (số dư 8)
- 2^4 = 16 ≡ 1 (số dư 1)
- 2^5 = 32 ≡ 2 (số dư 2)
- 2^6 = 64 ≡ 4 (số dư 4)
- 2^7 = 128 ≡ 8 (số dư 8)
- 2^8 = 256 ≡ 1 (số dư 1)

Chúng ta nhận thấy rằng phần dư của 2^n theo mod 15 có chu kỳ 4:

- 2^1 ≡ 2 (mod 15)
- 2^2 ≡ 4 (mod 15)
- 2^3 ≡ 8 (mod 15)
- 2^4 ≡ 1 (mod 15)

Vì thế, để tìm số dư của 2^(2023) mod 15, ta xem xét 2023 mod 4:

2023 chia cho 4 được 3 dư 1, nghĩa là 2023 ≡ 3 (mod 4). Do đó, 2^(2023) sẽ có cùng số dư với 2^3.

Vì vậy, 2^(2023) ≡ 8 (mod 15).

Cuối cùng, để tính số dư của a = 2^(2023) - 2 khi chia cho 15, ta có:

8 - 2 = 6.

Vậy số dư của a khi chia cho 15 là 6.