Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,SA vuông góc (ABCD) SB tạo góc 45 độ .tính khoảng cách giữa AB và SD

Để tính khoảng cách giữa đoạn thẳng AB và SD trong hình chóp SABCD với đáy là hình vuông ABCD, trước tiên chúng ta cần xác định một số đặc điểm của hình chóp và các điểm.

1. Xác định vị trí các điểm:
- Đặt các điểm như sau:
- A(0, 0, 0)
- B(2a, 0, 0)
- C(2a, 2a, 0)
- D(0, 2a, 0)
- Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, và góc giữa SB và mặt phẳng đáy là 45 độ, ta xác định tọa độ điểm S. Gọi tọa độ của S là S(x, y, z).

2. Tính tọa độ của S:
- Tọa độ S phải nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD đi qua điểm S.
- Bộ tọa độ của S có thể được lấy là S(a, a, z), với z là chiều cao của hình chóp.
- Vì góc SB tạo với mặt phẳng đáy là 45 độ, ta có thể sử dụng tan của 45 độ để tìm chiều cao:
- SB = √((2a - a)² + (0 - a)² + z²) = √(a² + a² + z²) = √(2a² + z²)
- Do đó, tan(45) = z / SB nên z = SB.

3. Tính chiều dài đoạn thẳng SD:
- Để tìm SD, ta áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
- Tọa độ D là D(0, 2a, 0), nên:
- SD = √((0 - a)² + (2a - a)² + (0 - z)²) = √(a² + a² + z²) = √(2a² + z²).

4. Tính khoảng cách giữa AB và SD:
- Đoạn thẳng AB là một đoạn thẳng nằm trên mặt phẳng z = 0.
- Đoạn thẳng SD nằm trong không gian 3D và có tọa độ S(a, a, z) và D(0, 2a, 0).
- Để tìm khoảng cách giữa một đoạn thẳng và một đoạn thẳng khác, ta cần tìm điểm gần nhất trên đoạn SD đến đoạn AB (mặt phẳng z = 0).

5. Tính toán:
- Khoảng cách giữa đoạn AB và SD trong không gian 3D có thể được tính bằng cách xét chiều cao z. Vì vậy, khoảng cách giữa hai đoạn thẳng AB và SD được tính là z/√2, do đó:
- Khoảng cách giữa AB và SD sẽ là z = √2a.

Vậy khoảng cách giữa AB và SD là z = √2a, với z là giá trị chiều cao từ điểm S đến mặt phẳng chứa đoạn thẳng AB.