Giải bất phương trình: 3x + y = 3 2x - y = 7

Để giải hệ bất phương trình gồm hai phương trình sau:

1. 3x + y = 3
2. 2x - y = 7

Ta sẽ chuyển hai phương trình này về dạng y = f(x) để dễ dàng nhận diện miền nghiệm.

Từ phương trình đầu tiên, ta giải cho y:

y = 3 - 3x

Từ phương trình thứ hai, ta cũng giải cho y:

y = 2x - 7

Bây giờ, chúng ta có thể vẽ hai đường thẳng này trên hệ tọa độ với trục x và trục y.

- Đường thẳng y = 3 - 3x là đường thẳng giảm dần (có độ dốc âm). Khi x = 0, y = 3; khi x = 1, y = 0; khi x = 2, y = -3. Như vậy, đường thẳng này cắt trục y tại điểm (0, 3).
- Đường thẳng y = 2x - 7 cũng là một đường thẳng tăng dần (có độ dốc dương). Khi x = 0, y = -7; khi x = 1, y = -5; khi x = 4, y = 1. Đường thẳng này cắt trục y tại điểm (0, -7).

Bây giờ, ta sẽ tìm giao điểm của hai đường thẳng này để xác định miền nghiệm. Để tìm giao điểm, ta sử dụng cả hai phương trình và thay thế y từ phương trình đầu tiên vào phương trình thứ hai:

3x + (2x - 7) = 3

Giải phương trình:

3x + 2x - 7 = 3
5x - 7 = 3
5x = 10
x = 2

Tiếp theo, thay giá trị x = 2 vào một trong hai phương trình để tìm giá trị y. Ta dùng phương trình y = 3 - 3x:

y = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là (2, -3).

Tiếp theo, để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta chú ý đến các dấu của các phương trình. Ta sẽ phân tích các khoảng trên trục x, sử dụng khái niệm kiểm tra dấu của y.

- Với x < 2: Ta lấy x = 0, ta có y = 3 - 3(0) = 3 cho phương trình đầu tiên và y = 2(0) - 7 = -7 cho phương trình thứ hai. Khi đó, y của phương trình đầu tiên lớn hơn không và nhỏ hơn y của phương trình thứ hai.
- Với x = 2: Ta đã tìm được y là -3 (tại điểm giao nhau).
- Với x > 2: Ta lấy x = 3, thì y = 3 - 3(3) = -6 và y = 2(3) - 7 = -1. Khi đó, y của phương trình đầu tiên nhỏ hơn y của phương trình thứ hai.

Từ đó, ta ta có thể tóm tắt được miền nghiệm như sau:

- Nên x < 2, y lớn hơn hàm 3 - 3x và nhỏ hơn hàm 2x - 7.
- Kết quả là miền nghiệm nằm bên trên đường thẳng 3x + y = 3 và bên dưới đường thẳng 2x - y = 7.

Như vậy, hệ bất phương trình trên có nghiệm là miền nằm giữa hai đường thẳng và bao gồm các điểm có tọa độ (x, y) thoả mãn điều kiện trên.