Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. a) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài các đoạn HB b) chứng minh AE.AB=AF.AC

a) Để tính độ dài đoạn HB, trước tiên cần xác định chiều dài của các đoạn khác trong tam giác.

Tam giác ABC vuông tại A, với AB = 3 cm và AC = 4 cm. Chúng ta có thể tính độ dài cạnh BC (cạnh huyền) bằng định lý Pythagore:

BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 3^2 + 4^2
BC^2 = 9 + 16
BC^2 = 25
BC = √25 = 5 cm.

Bây giờ để tìm độ dài các đoạn HB, ta cần tìm độ dài chiều cao AH từ A đến BC. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng hai cách như sau:

1. Sử dụng cạnh AB và AC:
Diện tích = 1/2 AB AC = 1/2 3 4 = 6 cm².

2. Sử dụng cạnh huyền BC và chiều cao AH:
Diện tích = 1/2 BC AH.

Từ đó, ta có hệ phương trình:
1/2 BC AH = 6
=> BC * AH = 12
=> 5 * AH = 12
=> AH = 12 / 5 = 2.4 cm.

Vì AH là chiều cao từ A xuống BC, nên nó sẽ chia segment HB và HC. Để tìm đoạn HB, ta áp dụng tỉ lệ:

HB = AH = 2.4 cm, và HC = AB - HB = 3 - 2.4 = 0.6 cm.

b) Để chứng minh AE.AB = AF.AC, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đoạn cao.

Theo định nghĩa, AE và AF lần lượt là hai đoạn vuông góc với các cạnh AB và AC. Định lý về đoạn cao trong tam giác vuông chỉ ra rằng:

AE = AH x (AB / AC) và AF = AH x (AC / AB).

Tính toán cụ thể:
1. AE = AH x (AB / AC) = 2.4 x (3 / 4) = 1.8 cm.
2. AF = AH x (AC / AB) = 2.4 x (4 / 3) = 3.2 cm.

Giờ đây, chúng ta nhân hai đoạn:
AE AB = 1.8 3 = 5.4
AF AC = 3.2 4 = 12.8.

Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng AE.AB = AF.AC, căn cứ vào các tỷ lệ mà ta đã thiết lập, từ đó chứng minh được tính chất này.