1 s=3^1+3^2+ 3^3+3^4+.......+ 3^2015 . tính s 2 a= 1+2+2^2+2^3+......+2^11 không tính tổng a, háy chứng tỏ a chia hết cho 3 3 cho số tự nhiên chia hết cho 3. chứng tỏ a= n^3+n^2+3 không chia hết cho 9

1. Để tính tổng s = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2015, chúng ta nhận thấy đây là một cấp số nhân với số hạng đầu a = 3^1 = 3 và công bội r = 3. Tổng của một cấp số nhân từ a đến b có thể tính bằng công thức:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- n là số hạng, ở đây n = 2015 (vì bắt đầu từ 3^1 đến 3^2015 có 2015 hạng)
- a = 3
- r = 3

Vậy ta có n = 2015:
S = 3 (3^2015 - 1) / (3 - 1) = 3 (3^2015 - 1) / 2.

Kết quả cuối cùng là:

s = (3/2) * (3^2015 - 1).

2. Xét tổng a = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^11. Tổng này cũng là một cấp số nhân. Ta sẽ chứng minh rằng a chia hết cho 3 mà không cần tính tổng riêng.

Tổng a có số hạng đầu là 1 (2^0) và công bội là 2. Số hạng cuối là 2^11. Ta có:

a = (2^(n+1) - 1) / (2 - 1) với n = 11.

Vậy a = 2^12 - 1.

Bây giờ, ta xét 2^12 - 1 mod 3.
Lưu ý rằng 2 ≡ -1 mod 3, cho nên:

2^12 ≡ (-1)^12 ≡ 1 mod 3.

Từ đó, 2^12 - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 mod 3.

Vậy a chia hết cho 3.

3. Xét số tự nhiên a = n^3 + n^2 + 3. Ta muốn chứng minh rằng a không chia hết cho 9, với giả thiết n chia hết cho 3.

Khi n chia hết cho 3, ta có n = 3k cho một số nguyên k. Từ đó, ta tính:

n^2 = (3k)^2 = 9k^2,
n^3 = (3k)^3 = 27k^3.

Khi đó, ta thay vào a:

a = 27k^3 + 9k^2 + 3.

Ta có:

a = 3(9k^3 + 3k^2 + 1).

Từ đây, a có thể chia hết cho 3. Tuy nhiên, để chứng minh a không chia hết cho 9, ta xét phần còn lại mod 9:

9k^3 + 3k^2 + 1 mod 3 là:
- 9k^3 mod 9 ≡ 0,
- 3k^2 mod 9 ≡ 0,
- Từ đó ta có 9k^3 + 3k^2 + 1 ≡ 1 mod 9.

Vậy a không chia hết cho 9.