[TOÁN CAO CẤP] Mọi người ơi giúp mình giải bài này với

Để giải bài toán này, ta cần xác định xem giá trị của \( m \) nào khiến hệ phương trình có nghiệm duy nhất theo quy tắc Cramer.

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
2x - y + mz = 1 \\
5x - 4y + 3z = 0 \\
-2x + 3y - z = -4
\end{cases}
\]

Đầu tiên, ta sẽ viết hệ phương trình dưới dạng ma trận hệ số và ma trận tự do:

Ma trận hệ số \( A \):

\[
A = \begin{bmatrix}
2 & -1 & m \\
5 & -4 & 3 \\
-2 & 3 & -1
\end{bmatrix}
\]

Ma trận tự do \( B \):

\[
B = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-4
\end{bmatrix}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số \( A \) phải khác 0, tức là \( \text{det}(A) \neq 0 \).

Tính định thức của ma trận \( A \):

\[
\text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix}
-4 & 3 \\
3 & -1
\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}
5 & 3 \\
-2 & -1
\end{vmatrix} + m \begin{vmatrix}
5 & -4 \\
-2 & 3
\end{vmatrix}
\]

Bây giờ ta tính từng định thức nhỏ:

1. \(\begin{vmatrix}
-4 & 3 \\
3 & -1
\end{vmatrix} = (-4)(-1) - (3)(3) = 4 - 9 = -5\)

2. \(\begin{vmatrix}
5 & 3 \\
-2 & -1
\end{vmatrix} = (5)(-1) - (3)(-2) = -5 + 6 = 1\)

3. \(\begin{vmatrix}
5 & -4 \\
-2 & 3
\end{vmatrix} = (5)(3) - (-4)(-2) = 15 - 8 = 7\)

Thay vào công thức định thức của ma trận \( A \):

\[
\text{det}(A) = 2(-5) + 1(1) + m(7) = -10 + 1 + 7m = 7m - 9
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
7m - 9 \neq 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
7m \neq 9 \implies m \neq \frac{9}{7}
\]

Vậy, với mọi giá trị của \( m \) khác \( \frac{9}{7} \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất theo quy tắc Cramer.