Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M trung điểm cạnh SD, G là trọng tâm tam giác ACD và I là trung điểm của đoạn SG. a) Chứng minh rằng MI // BD b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC) c) Xác

a) Chứng minh rằng MI // BD:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\), nghĩa là \(M\) chia \(SD\) thành hai đoạn bằng nhau.
- \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\), nghĩa là \(G\) chia các đoạn \(AG\), \(CG\), \(DG\) theo tỉ lệ 2:1.
- \(I\) là trung điểm của đoạn \(SG\), nghĩa là \(I\) chia \(SG\) thành hai đoạn bằng nhau.

Xét tứ giác \(SMGI\):
- Vì \(M\) và \(I\) là trung điểm của \(SD\) và \(SG\) tương ứng, ta có \(SM = MD\) và \(SG = 2SG\).
- Do \(G\) là trọng tâm của \(\triangle ACD\), nên \(G\) chia \(AG\) theo tỉ lệ 2:1, tức là \(AG = 2GD\).

Khi đó, xét hình chiếu của các điểm lên mặt phẳng đáy \(ABCD\):
- \(M\) và \(I\) sẽ chiếu lên cạnh \(BD\) và tạo thành hai đoạn bằng nhau, do \(M\) và \(I\) là trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng.
- Do đó, đường thẳng \(MI\) sẽ song song với đường thẳng \(BD\) vì chúng đều nằm trong cùng một mặt phẳng và song song với cạnh đáy của hình chóp.

Kết luận: \(MI // BD\).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

- Giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBD):
- Cả hai mặt phẳng này đều qua điểm \(S\), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng chứa \(S\) và điểm giao của các đường thẳng \(AC\) và \(BD\) trong mặt phẳng đáy \(ABCD\). Do \(ABCD\) là hình bình hành, \(AC\) và \(BD\) không giao nhau trong mặt phẳng đáy, nhưng giao nhau tại vô cùng, nên giao tuyến là đường thẳng \(SA\).

- Giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC):
- Tương tự, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng chứa \(S\) và điểm giao của các đường thẳng \(AD\) và \(BC\) trong mặt phẳng đáy. Lại nữa, \(AD\) và \(BC\) song song với nhau, nên giao tuyến cũng là đường thẳng \(SA\).

Kết luận: Giao tuyến của cả hai cặp mặt phẳng đều là đường thẳng \(SA\).

c) Xác định giao điểm \(F\) của \(SA\) và mặt phẳng (CMI) và tính tỉ số \(\frac{FS}{FA}\):

- Vì \(I\) là trung điểm của \(SG\), nên \(I\) nằm trên đường trung bình của tam giác \(SGD\), do đó \(I\) chia \(SG\) theo tỉ lệ 1:1.
- Mặt phẳng (CMI) cắt \(SA\) tại \(F\), và do \(M\) và \(I\) là trung điểm, nên \(F\) sẽ chia \(SA\) theo tỉ lệ 2:1.

Kết luận: Tỉ số \(\frac{FS}{FA} = \frac{2}{1} = 2\).