Chững minh rằng: 1, A= 5+5^2+5^3+.....+5^20 a, C chia hết cho 5 b, C chia hết cho 6

Để chứng minh rằng A = 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^20 có các tính chất chia hết cho 5 và 6, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính giá trị A:

A là một chuỗi số hạng theo cấp số nhân với a = 5 và r = 5. Tổng của một cấp số nhân có thể tính bằng công thức:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Trong trường hợp này, a = 5, r = 5, và n = 20.

Áp dụng công thức:

A = 5 (1 - 5^20) / (1 - 5) = 5 (1 - 5^20) / (-4)

Vì vậy:

A = - (5/4) * (1 - 5^20) = (5^21 - 5) / 4.

a. Chứng minh A chia hết cho 5:

Mặc dù A có dạng (5^21 - 5) / 4, để kiểm tra tính chia hết, ta xem xét phần tử trong dấu ngoặc:

5^21 - 5 = 5 * (5^20 - 1).

Theo định nghĩa, số 5 luôn chia hết cho 5. Do đó, 5 * (5^20 - 1) chia hết cho 5, và từ đó suy ra A cũng chia hết cho 5.

b. Chứng minh A chia hết cho 6:

Để A chia hết cho 6, nó phải chia hết cho cả 2 và 3.

1. Chia hết cho 2:
Dễ dàng nhận thấy rằng giá trị A = (5^21 - 5) / 4. Ta kiểm tra xem 5^21 - 5 có chia hết cho 8 (bởi vì 2^3 = 8), do đó A sẽ chia hết cho 2.
- Xét 5^21 - 5. Khi 5 lũy thừa chẵn sẽ tương đương với 1 modulo 8 (vì 5^2 = 25 ≡ 1 (mod 8)).
- Đối với 5^21 (là số lũy thừa lẻ), ta có 5^21 ≡ 5 (mod 8).
- Vì vậy, 5^21 - 5 ≡ 5 - 5 ≡ 0 (mod 8), hay 5^21 - 5 chia hết cho 8, mà 8 chia hết cho 2.

2. Chia hết cho 3:
Tiếp theo, ta cần kiểm tra xem A có chia hết cho 3 không.
- 5 mod 3 = 2.
- 5^n mod 3 sẽ lặp lại: 5^1 ≡ 2, 5^2 ≡ 1, 5^3 ≡ 2, 5^4 ≡ 1,...
- Do vậy, chu kỳ là 2. Với n = 21 là lẻ, ta có 5^21 ≡ 2.
- Do đó, 5^21 - 5 ≡ 2 - 2 ≡ 0 (mod 3), tức là chia hết cho 3.

Kết hợp lại, A chia hết cho cả 2 và 3, từ đó suy ra A chia hết cho 6.

Tóm lại, A chia hết cho 5 và A cũng chia hết cho 6.