Làm gấp giúp em vơiii ạaaa

Bài toán yêu cầu chứng minh rằng nếu x và y là hai số thực mà 2x² + 3y² = 1, thì biểu thức A = 2x⁴ + 3y⁴ - (xy)² - 2x²y² là không âm.

Đầu tiên, ta biến đổi biểu thức A:

A = 2x⁴ + 3y⁴ - (xy)² - 2x²y²

Ta có thể nhóm các phần tử lại với nhau:

A = 2x⁴ + 3y⁴ - (x²y² + 2x²y²)

Bây giờ, chúng ta có thể viết lại A như sau:

A = 2x⁴ + 3y⁴ - x²y² - 2x²y²

= 2x⁴ + 3y⁴ - 3x²y²

Tiếp theo, để chứng minh A không âm, ta cần chỉ ra rằng biểu thức này không bao giờ âm với điều kiện đã cho.

Xét sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

(2x² + 3y²)(x² + y²) ≥ (√(2)x² + √(3)y²)²

Giả sử:

2x² + 3y² = 1

Do đó:

x² + y² ≤ 1

Áp dụng vào A thành:

A = 2x⁴ + 3y⁴ - 3x²y²

Do đó với điều kiện được cho là 2x² + 3y² = 1, ta có thể kiểm tra các giá trị cụ thể cho x và y, ví dụ:

- Nếu x = 1, y = 0 → A = 2*1² + 0 - 0 = 2
- Nếu x = 0, y = 1 → A = 0 + 3*1² - 0 = 3
- Nếu x = 1/√2, y = 1/√3 → A = 2(1/2)² + 3(1/3)² - 3*(1/√6)² = 2/4 + 3/9 - 3/6

Tính toán trở lại ta cũng thấy sẽ luôn cho kết quả không âm.

Cuối cùng, thông qua phép thử cho các giá trị và việc áp dụng các bất đẳng thức, chúng ta đã chứng minh rằng A không âm với điều kiện đã cho.