Câu 2: Cho hàm số y= $frac{x^{2} - x + m}{x+1}$ có đồ thị (C). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m<3 để đồ thị (C) có cực đại, cực tiểu và hai giá trị cực trị trái dấu. mng giúp mình giải chi tiết

Để hàm số y = (x^2 - x + m) / (x + 1) có cực đại, cực tiểu và hai giá trị cực trị trái dấu, chúng ta cần khảo sát điều kiện của hàm số này.

1. Tính đạo hàm y' để tìm cực trị:
Đầu tiên ta áp dụng quy tắc đạo hàm cho thương. Đạo hàm của hàm số y sẽ là:
y' = [(x + 1)(2x - 1) - (x^2 - x + m)(1)] / (x + 1)^2

Đặc biệt, ta có:
y' = (2x^2 + 2x - 1 - x^2 + x - m) / (x + 1)^2
y' = (x^2 + 3x - 1 - m) / (x + 1)^2

2. Tìm các giá trị x tại y' = 0:
Đặt y' = 0, ta có phương trình:
x^2 + 3x - 1 - m = 0.

Phương trình này là một phương trình bậc 2 có nghiệm nếu:
∆ ≥ 0:
∆ = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-1 - m) = 9 + 4 + 4m = 13 + 4m.

Để phương trình có nghiệm, ta yêu cầu:
13 + 4m ≥ 0
=> m ≥ -13/4.

3. Cực trị trái dấu:
Để hai giá trị cực trị (x1, x2) của hàm số trái dấu, ta cần khảo sát giá trị của hàm số tại các cực trị:
Đặt x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x^2 + 3x - 1 - m = 0. Sử dụng công thức nghiệm ta có:
x1, x2 = [-3 ± √(13 + 4m)] / 2.

Để hàm số có hai cực trị trái dấu, một nghiệm phải dương và một nghiệm phải âm, tức là cần có điều kiện:
x1 * x2 < 0.

Tích của hai nghiệm cho biết:
m < 14.

4. Tổng hợp điều kiện m:
Từ điều kiện trên, ta có:
-13/4 ≤ m < 3 và m < 14.

Tóm lại, ta cần các giá trị nguyên của m sao cho:
- m là nguyên
- -13/4 ≤ m < 3
=> m có thể lấy các giá trị nguyên: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

5. Các giá trị thỏa mãn:
Vậy các giá trị nguyên của m < 3 là {-3, -2, -1, 0, 1, 2}.

6. Kết luận:
Có tổng cộng 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn tất cả các điều kiện đã nêu trên.

Do đó, đáp án là: 6.