tìm số tự nhiên n để 4n+3 chia hết cho n-1

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số tự nhiên n sao cho biểu thức 4n + 3 chia hết cho n - 1.

Đầu tiên, ta đặt điều kiện chia hết, tức là \(4n + 3 \equiv 0 \mod (n - 1)\). Điều này có nghĩa là \(4n + 3 = k(n - 1)\) với k là một số nguyên.

Chúng ta có thể reorganize phương trình để tìm giá trị của k:

4n + 3 = kn - k
=> 4n - kn + 3 + k = 0
=> (4 - k)n = -3 - k
=> n = (-3 - k) / (4 - k)

Để n là số tự nhiên, điều kiện là (-3 - k) phải chia hết cho (4 - k), và đồng thời giá trị của n phải lớn hơn hoặc bằng 1 (n ≥ 1).

Bây giờ chúng ta sẽ thử một vài giá trị của k để tìm n.

1. Với k = 0:
n = -3 / 4 => không hợp lệ vì n không phải là số tự nhiên.

2. Với k = 1:
n = (-3 - 1)/(4 - 1) = -4 / 3 => không hợp lệ.

3. Với k = 2:
n = (-3 - 2)/(4 - 2) = -5 / 2 => không hợp lệ.

4. Với k = 3:
n = (-3 - 3)/(4 - 3) = -6 / 1 = -6 => không hợp lệ.

5. Với k = 4:
n = (-3 - 4)/(4 - 4) = không xác định (chia cho 0).

6. Với k = -1:
n = (-3 + 1)/(4 + 1) = -2/5 => không hợp lệ.

7. Với k = -2:
n = (-3 + 2)/(4 + 2) = -1/6 => không hợp lệ.

8. Với k = -3:
n = (-3 + 3)/(4 + 3) = 0/7 = 0 => không hợp lệ vì n không tự nhiên.

Như vậy, chúng ta đang thử nhiều giá trị k, nhưng không tìm được n là số tự nhiên.

Thay vào đó, ta có thể quy về một phương pháp khác. Chúng ta có thể viết lại:

\( 4n + 3 = m(n - 1) \) cho một m nào đó (m là số nguyên).

Từ đó ta rút ra được:

\( m = \frac{4n + 3}{n - 1} \).

Để n là số tự nhiên, ta sẽ đảm bảo rằng mẫu số n - 1 không bằng 0 và chia cho nó trong khi giá trị trên cũng phải là số nguyên.

Sau khi phân tích sâu, ta thực hiện thống kê các giá trị n khả thi:

Nếu \( n = 2 \):

\( 4n + 3 = 8 + 3 = 11 \)
\( n - 1 = 2 - 1 = 1 \), 11 chia hết cho 1. => hợp lệ.

Nếu \( n = 3 \):

\( 4n + 3 = 12 + 3 = 15 \)
\( n - 1 = 3 - 1 = 2 \), 15 chia hết cho 2 => không hợp lệ.

Chúng ta thấy n = 2 là giá trị thỏa mãn điều kiện duy nhất trong các giá trị tự nhiên thử trên. Vậy số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài là n = 2.