tìm số tự nhiên để (4n+3) chia hết cho (n-1)

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( 4n + 3 \) chia hết cho \( n - 1 \), ta cần giải phương trình:

\[ \frac{4n + 3}{n - 1} = k \]

với \( k \) là một số nguyên.

1. Biến đổi phương trình:

\[ 4n + 3 = k(n - 1) \]

\[ 4n + 3 = kn - k \]

2. Chuyển các hạng tử có \( n \) sang một bên:

\[ 4n - kn = -k - 3 \]

\[ n(4 - k) = -k - 3 \]

3. Giải phương trình:

\[ n = \frac{-k - 3}{4 - k} \]

Vì \( n \) là số tự nhiên, nên phân số bên phải phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 4 - k \) phải là ước của \( -k - 3 \).

4. Kiểm tra các giá trị có thể của \( k \):

- Nếu \( k = 4 \):
\[ n = \frac{-4 - 3}{4 - 4} = \frac{-7}{0} \] (Không hợp lệ)

- Nếu \( k = 3 \):
\[ n = \frac{-3 - 3}{4 - 3} = \frac{-6}{1} = -6 \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = 2 \):
\[ n = \frac{-2 - 3}{4 - 2} = \frac{-5}{2} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = 1 \):
\[ n = \frac{-1 - 3}{4 - 1} = \frac{-4}{3} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = 0 \):
\[ n = \frac{0 - 3}{4 - 0} = \frac{-3}{4} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -1 \):
\[ n = \frac{1 - 3}{4 + 1} = \frac{-2}{5} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -2 \):
\[ n = \frac{2 - 3}{4 + 2} = \frac{-1}{6} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -3 \):
\[ n = \frac{3 - 3}{4 + 3} = \frac{0}{7} = 0 \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -4 \):
\[ n = \frac{4 - 3}{4 + 4} = \frac{1}{8} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -5 \):
\[ n = \frac{5 - 3}{4 + 5} = \frac{2}{9} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -6 \):
\[ n = \frac{6 - 3}{4 + 6} = \frac{3}{10} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -7 \):
\[ n = \frac{7 - 3}{4 + 7} = \frac{4}{11} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -8 \):
\[ n = \frac{8 - 3}{4 + 8} = \frac{5}{12} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -9 \):
\[ n = \frac{9 - 3}{4 + 9} = \frac{6}{13} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -10 \):
\[ n = \frac{10 - 3}{4 + 10} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -11 \):
\[ n = \frac{11 - 3}{4 + 11} = \frac{8}{15} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -12 \):
\[ n = \frac{12 - 3}{4 + 12} = \frac{9}{16} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -13 \):
\[ n = \frac{13 - 3}{4 + 13} = \frac{10}{17} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -14 \):
\[ n = \frac{14 - 3}{4 + 14} = \frac{11}{18} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -15 \):
\[ n = \frac{15 - 3}{4 + 15} = \frac{12}{19} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -16 \):
\[ n = \frac{16 - 3}{4 + 16} = \frac{13}{20} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -17 \):
\[ n = \frac{17 - 3}{4 + 17} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \] (Không phải số tự nhiên)

- Nếu \( k = -18 \):
\[ n = \frac{18 - 3}{4 + 18} = \frac{15}{22} \] (Không phải số tự nhiên)

Như vậy, sau khi kiểm tra các giá trị có thể của \( k \), chúng ta thấy rằng không có giá trị nào của \( k \) khiến \( n \) là một số tự nhiên. Do đó, không có số tự nhiên \( n \) thỏa mãn điều kiện \( 4n + 3 \) chia hết cho \( n - 1 \).