Cho tam giác ABC , đường cao AH . Gọi I là trung điểm của AC , lấy E sao cho I là trung điểm HE . Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng:

1. AH ⊥ CE: Đường chéo AH và CE vuông góc với nhau.
2. AH = CE: Hai đường chéo bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh AH ⊥ CE

- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH ⊥ BC.
- Gọi D là trung điểm của BC, do đó I là trung điểm của AC và D là trung điểm của BC, nên AD ⊥ BC (theo tính chất của trung tuyến trong tam giác).
- E nằm trên đường thẳng AH sao cho I là trung điểm của HE. Điều này có nghĩa là HE song song với AD và I là trung điểm của HE.
- Vì AD ⊥ BC, nên HE cũng phải vuông góc với BC.
- Tuy nhiên, CE cũng phải vuông góc với BC vì E nằm trên đường thẳng AH, và AH ⊥ BC.

Vậy, AH ⊥ CE.

Bước 2: Chứng minh AH = CE

- Vì I là trung điểm của HE, nên HI = IE.
- Ta có AI = IC vì I là trung điểm của AC.
- Xét tam giác AHE:
- HI = IE (đã chứng minh)
- AH = AE (do I là trung điểm của HE, và AH ⊥ HE nên tam giác AHE là tam giác vuông cân tại H).
- Đồng thời, do tam giác AHE vuông cân tại H, nên AH = AE.

Vì AH = AE và AE = CE (do E là điểm nằm trên AH và I là trung điểm của HE, nên CE = AE), ta có:

AH = CE.

Kết luận:

Tứ giác AHCE có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau, do đó tứ giác AHCE là hình chữ nhật.