Tìm GTNN của A = a + b + 1/a + 1/b thoả mãn a + b <= 1

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) với điều kiện \( a + b \leq 1 \), trước tiên ta sẽ biến đổi biểu thức này.

Biểu thức \( A \) có thể viết lại như sau:

\[
A = (a + b) + \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)
\]

Giả sử \( s = a + b \) và \( p = ab \). Theo bất đẳng thức AM-HM, ta có:

\[
\frac{a + b}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b} = \frac{4}{s}
\]

Do đó:

\[
A \geq s + \frac{4}{s}
\]

Bây giờ, chúng ta cần tối thiểu hóa biểu thức \( A(s) = s + \frac{4}{s} \) với điều kiện \( s \leq 1 \). Ta tính đạo hàm:

\[
A'(s) = 1 - \frac{4}{s^2}
\]

Giải phương trình \( A'(s) = 0 \) để tìm điểm cực trị:

\[
1 - \frac{4}{s^2} = 0 \implies s^2 = 4 \implies s = 2 \quad (\text{s không hợp lệ vì } s \leq 1)
\]

Đối với \( s \leq 1 \), ta kiểm tra giá trị tại điểm biên:

1. Khi \( s = 1 \):
\[
A(1) = 1 + \frac{4}{1} = 5
\]

2. Khi \( s \) tiến gần về 0 (tức là \( a, b \) rất nhỏ nhưng dương):
\[
A \to \infty \quad \text{(vì } \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \text{ trở nên rất lớn)}
\]

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) dưới điều kiện \( a + b \leq 1 \) là \( 5 \) khi \( a + b = 1 \).

Do đó, \( GTNN của A = 5 \).