a= 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 +... + 1/2021x2023

Để giải bài toán này, ta sẽ biến đổi từng phân số trong dãy để tìm ra một quy luật hoặc một cách đơn giản hóa biểu thức:

1. Biến đổi từng phân số:
- Phân số đầu tiên:
\[
\frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{3-2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)
\]
- Phân số thứ hai:
\[
\frac{1}{3 \times 5} = \frac{1}{5-2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right)
\]
- Phân số thứ ba:
\[
\frac{1}{5 \times 7} = \frac{1}{7-2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right)
\]
- Như vậy, ta có quy luật chung cho mỗi phân số:
\[
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2} \right)
\]

2. Gộp lại tất cả các phân số:
- Khi ta gộp lại tất cả các phân số từ \( n = 1 \) đến \( n = 1011 \) (vì \( 2021 = 2 \times 1011 - 1 \)), chúng ta sẽ thấy rằng các phần tử phân số sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại phần tử đầu tiên và cuối cùng:
\[
a = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2022} - \frac{1}{2024} \right) \right)
\]
- Tất cả các phân số trừ nhau đều triệt tiêu, chỉ còn lại:
\[
a = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2024} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4048}
\]
- Ta có thể rút gọn:
\[
a = \frac{1012}{4048} - \frac{1}{4048} = \frac{1011}{4048}
\]

Do đó, giá trị của \( a \) là \( \frac{1011}{4048} \).