Cho A ABC vuông tại A (AC > AB) có AM là đường trung tuyến. Kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E. a) Tứ giác ADME là hình gì Vi sao? b) Trên tia ME lấy điểm N sao cho E là trung điểm

c) Trên tia ME lấy điểm N sao cho E là trung điểm của MN. Chứng minh E là trung điểm của AC và tứ giác AMCN là hình thoi.

Chứng minh:

1. E là trung điểm của AC:
- Do MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E, nên MD và ME là các đường cao của tam giác ABC.
- Trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A, đường trung tuyến AM chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau về diện tích.
- Đường cao ME từ M (trung điểm của BC) đến AC chia AC thành hai đoạn bằng nhau vì tam giác vuông tại A và đường cao từ trung điểm đáy trong tam giác vuông luôn chia cạnh huyền thành hai phần bằng nhau. Do đó, E là trung điểm của AC.

2. Tứ giác AMCN là hình thoi:
- Ta đã biết E là trung điểm của AC.
- N là điểm trên tia ME sao cho E là trung điểm của MN. Điều này có nghĩa là MN = 2ME.
- Vì E là trung điểm của AC, nên AE = EC.
- Trong tam giác vuông ABC, AM là đường trung tuyến nên AM vuông góc với BC tại M. Do đó, AM = MC.
- Ta cần chứng minh rằng AM = AN, AC = AN:
- Vì E là trung điểm của AC và MN = 2ME, ta có ME = EN.
- Tam giác AME và tam giác ENC đồng dạng (do có góc vuông tại E và góc tại M, N bằng nhau).
- Từ đồng dạng, ta có AM/AE = ME/EN. Vì ME = EN, nên AM = AE.
- Vì AE = EC, nên AM = EC.
- Do đó, AM = AN = AC.

- Vậy tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau, tức là tứ giác AMCN là hình thoi.

Kết luận: E là trung điểm của AC và tứ giác AMCN là hình thoi.