CMRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

Để chứng minh bất đẳng thức \( a^3 + b^3 \leq a^4 + b^4 \) khi \( a + b \geq 2 \), ta tiến hành như sau:

1. Áp dụng Định lý Cauchy-Schwarz: Theo định lý này, ta có:
\[
(a + b)^2 \geq 2ab
\]
Từ điều kiện \( a + b \geq 2 \), suy ra:
\[
(a + b)^2 \geq 4 \implies a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

2. Biến đổi \( a^4 + b^4 \): Ta biết rằng \( a^4 + b^4 = (a^2)^2 + (b^2)^2 \). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa:
\[
(a^2 + b^2)^2 \geq a^4 + b^4
\]

3. Sử dụng định nghĩa trung bình cộng: Theo bất đẳng thức AM-GM:
\[
a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{ab}
\]
Khi \( a + b \geq 2 \), định nghĩa trung bình cộng cho thấy rằng \( ab \leq 1 \) (do \( a, b \geq 0 \) và \( a + b \) có giá trị lớn hơn hoặc bằng 2).

4. Chứng minh bằng cách lập bất đẳng thức cần chứng minh: Từ 1 và 2, ta có \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \). Thay vào biểu thức:
\[
a^2 - ab + b^2 \leq a^2 + b^2 \text{ (bởi vì } ab \geq 0 \text{)}
\]
Do đó:
\[
a^3 + b^3 \leq (a+b)(a^2 + b^2) \text{ cùng với } a^2 + b^2 \leq a^4 + b^4
\]

5. Kết luận: Tất cả những bất đẳng thức ta đã đưa ra dẫn đến việc \( a^3 + b^3 \leq a^4 + b^4 \) khi \( a + b \geq 2 \).

Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.