Thu gọn M M = 1 + 7 + 7 mũ 2 + 7 mũ 3 +...+ 7 mũ 85421

Để thu gọn biểu thức \( M = 1 + 7 + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{85421} \), ta có thể sử dụng công thức của tổng của một cấp số nhân hữu hạn.

1. Nhận diện cấp số nhân:
- Số hạng đầu tiên \( a = 1 \)
- Công bội \( r = 7 \)
- Số hạng cuối cùng \( 7^{85421} \)
- Số hạng thứ \( n \) là \( 85422 \) (vì có từ 1 đến \( 7^{85421} \), tổng cộng 85422 số hạng).

2. Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân:
Công thức tổng của cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Ở đây:
- \( S_n \) là tổng cần tìm, tức là \( M \).
- \( a = 1 \)
- \( r = 7 \)
- \( n = 85422 \)

3. Thay số vào công thức:
\[
M = 1 \cdot \frac{7^{85422} - 1}{7 - 1}
\]
\[
M = \frac{7^{85422} - 1}{6}
\]

Vậy, biểu thức \( M \) sau khi thu gọn là:
\[
M = \frac{7^{85422} - 1}{6}
\]

Lý do tại sao kết quả lại như vậy:

- Cấp số nhân: Biểu thức \( 1 + 7 + 7^2 + \ldots + 7^{85421} \) là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là 1 và công bội là 7. Công thức tổng của cấp số nhân cho phép ta tính tổng một cách nhanh chóng mà không cần phải cộng từng số hạng riêng lẻ.

- Công thức tổng: Công thức \( \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \) là một công thức toán học chuẩn để tính tổng của cấp số nhân. Ở đây, \( r \neq 1 \) để tránh chia cho 0. Khi \( r = 7 \), công thức này giúp ta giảm thiểu tính toán phức tạp bằng cách chuyển đổi tổng của nhiều số hạng thành một phép chia đơn giản.

- Chia cho 6: Phần mẫu số 6 xuất hiện vì \( r - 1 = 7 - 1 = 6 \). Đây là kết quả tự nhiên của việc áp dụng công thức với \( r = 7 \).

Như vậy, thu gọn biểu thức \( M \) theo cách này giúp chúng ta có được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.