cho p và 2p+1 là các số nguyên tố ( p > 3 ) hỏi 4p+1 là số nguyên tố hay hợp số giải thích rõ giúp mình với ạ

Để kiểm tra xem 4p + 1 có phải là số nguyên tố hay không, ta sẽ xét tính chất của nó khi p là số nguyên tố lớn hơn 3.

1. Tính chẵn, lẻ của p:
- Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6k ± 1, nơi k là số nguyên. Điều này có nghĩa là p có thể là 6k + 1 hoặc 6k - 1.

2. Xét từng trường hợp cho p:
- Trường hợp 1: Nếu p = 6k + 1, thì 4p + 1 = 4(6k + 1) + 1 = 24k + 4 + 1 = 24k + 5. Số 24k + 5 có thể chia hết cho 5 nếu k = 0 (tức là p = 5), và khi đó 4(5) + 1 = 21, không phải số nguyên tố.
- Trường hợp 2: Nếu p = 6k - 1, thì 4p + 1 = 4(6k - 1) + 1 = 24k - 4 + 1 = 24k - 3. Số 24k - 3 có thể chia hết cho 3 (khi k = 1, tức là p = 5). Khi đó, 4(5) + 1 = 21, không phải số nguyên tố.

3. Tổng quát hóa:
- Từ trường hợp 1 và 2, ta Nhận thấy rằng với các số nguyên tố p lớn hơn 3, 4p + 1 sẽ ít nhất có thể chia hết cho 3 hoặc 5 trong một số trường hợp nhất định.
- Khi p = 7 (là số nguyên tố lớn hơn 3), ta có: 4(7) + 1 = 29 (số nguyên tố). Nhưng nếu p = 11, ta có 4(11) + 1 = 45 (hợp số). Tương tự như vậy, nếu ta xét tiếp các số nguyên tố lớn hơn 11, có thể thấy rằng sẽ có trường hợp 4p + 1 trở thành hợp số.

Kết luận: 4p + 1 không phải lúc nào cũng là số nguyên tố và có thể là hợp số, tùy thuộc vào giá trị của p.