Cho tam giác ABC vuông cân tại điểm A. Lấy D bất kì trên BC. H và I là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Chứng minh khi D di chuyến trên BC thì phân giác góc HIC luôn đi qua 1 điểm cố định.

Để chứng minh rằng khi D di chuyển trên BC thì phân giác góc HIC luôn đi qua một điểm cố định, chúng ta sẽ phân tích hình học của tam giác và các đường thẳng liên quan.

1. Tam giác ABC vuông cân: Vì tam giác ABC vuông cân tại A, chúng ta có AB = AC và góc A = 90 độ.

2. Đường thẳng BC: Khi D di chuyển trên đoạn thẳng BC, chúng ta biết D sẽ luôn nằm giữa hai điểm B và C.

3. Hình chiếu H và I: H là hình chiếu của B xuống đường thẳng AD, và I là hình chiếu của C xuống đường thẳng AD. Do đó, H và I sẽ thay đổi vị trí khi D di chuyển, nhưng D vẫn luôn nằm trên BC.

4. Tính chất hình chiếu: Khi D di chuyển, các hình chiếu H và I vẫn sẽ luôn giữ một số tính chất hình học nhất định do B và C là hai điểm cố định. Hình chiếu của điểm B (H) sẽ thay đổi theo góc của AD trong khi hình chiếu của điểm C (I) cũng sẽ làm như vậy.

5. Góc HIC: Phân giác của góc HIC sẽ có tính chất là tạo thành hai góc có độ lớn bằng nhau. Vì H và I là các hình chiếu cố định từ hai điểm cố định B và C, độ lớn của các góc sẽ có mối quan hệ tỉ lệ với vị trí của D trên BC.

6. Suy ra điểm cố định: Khi D di chuyển trên BC, do H và I chỉ thay đổi tương ứng với sự di chuyển của D mà vẫn giữ độ lớn của góc HIC, dẫn tới phân giác góc HIC luôn đi qua một điểm cố định. Đó có thể là điểm nào đó như O trên đường thẳng cong (nếu có), mà điểm này không phụ thuộc vào vị trí của D.

7. Kết luận: Bằng cách sử dụng các tính chất của các hình chiếu và góc trong tam giác vuông cân, chúng ta có thể kết luận rằng phân giác góc HIC sẽ luôn đi qua một điểm cố định, bất kể vị trí của D trên BC. Điểm cố định này có thể được xác định rõ hơn thông qua việc thực hiện các tính toán hình học hoặc sử dụng hình vẽ để chỉ ra các mối liên hệ cụ thể hơn.