1/2-1/2^2+1/2^3-1/2^4+...+1/2^99-1/2^100 < 1/3

Để giải bài toán này, trước hết, ta cần xác định tổng của dãy số đã cho:

S = 1/2 - 1/2^2 + 1/2^3 - 1/2^4 + ... + 1/2^99 - 1/2^100.

Đây là một dãy số hình học. Sử dụng công thức tổng của một dãy hình học, ta có thể tính tổng:

Tổng của dãy hình học S có dạng:

S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n.

Trong đó:
- a là số hạng đầu (ở đây là 1/2),
- r là tỷ lệ (ở đây là -1/2),
- n là số hạng cuối (ở đây là 100).

Tổng S có thể được viết lại như sau:

S = 1/2 (1 - (-1/2)^100) / (1 - (-1/2)).

Tính giá trị của các thành phần trong công thức tổng:

1. Tính (-1/2)^100:
Vì 100 là số chẵn nên (-1/2)^100 = (1/2)^100 = 1/2^100.

2. Tính 1 - (-1/2)^100:
1 - 1/2^100.

3. Tính 1 - (-1/2):
1 + 1/2 = 3/2.

Bây giờ thay vào công thức:

S = (1/2) (1 - 1/2^100) / (3/2) = (1/3) (1 - 1/2^100).

Tính giá trị S:

S = (1 - 1/2^100) / 3.

Cuối cùng, để định lượng tổng, ta xem xét:

1 - 1/2^100 là một số gần bằng 1 (bởi vì 1/2^100 là một số rất nhỏ),

do đó:

S ≈ (1) / 3 = 1/3.

Vì vậy, chúng ta có:

S < 1/3 là đúng, và điều này xảy ra vì 1/2^100 là một số rất nhỏ và làm cho 1 - 1/2^100 vẫn gần giống với 1.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng tổng của dãy số là nhỏ hơn 1/3.