Tìm GTNN của biểu thức C=5x^2+4y^2+8xy-16x-12y+2032

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=5x^2+4y^2+8xy-16x-12y+2032, ta có thể sử dụng phương pháp đưa biểu thức về dạng chuẩn.

Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến x và y.

C = 5x² + 8xy + 4y² - 16x - 12y + 2032

Bước 2: Sắp xếp lại thành một ma trận. Tạo một ma trận số hạng bậc 2:

C = [x, y] [5, 4; 4, 4] [x; y] - [16, 12] * [x; y] + 2032

Trong đó, ma trận đối xứng A = [5, 4; 4, 4].

Bước 3: Tính định thức của ma trận A.

det(A) = 54 - 44 = 20 - 16 = 4 ( > 0)

Vì định thức của ma trận A dương và A là ma trận đối xứng, nên A là một ma trận khả nghịch và hình thái như vậy cho thấy rằng biểu thức bậc 2 này có giá trị tối thiểu.

Bước 4: Tính toán giá trị tối thiểu bằng cách sử dụng đạo hàm riêng để tìm điểm tới hạn.

Ta tính đạo hàm riêng theo x và y, và đặt chúng bằng 0:

∂C/∂x = 10x + 8y - 16 = 0
∂C/∂y = 8x + 8y - 12 = 0

Giải hệ phương trình này.

Từ phương trình đầu tiên:
10x + 8y = 16
=> 5x + 4y = 8 (1)

Từ phương trình thứ hai:
8x + 8y = 12
=> x + y = 1.5 (2)

Bước 5: Giải hệ phương trình (1) và (2).

Từ (2), ta có y = 1.5 - x. Thay vào (1):

5x + 4(1.5 - x) = 8
5x + 6 - 4x = 8
x + 6 = 8
x = 2

Thay x = 2 vào (2):
2 + y = 1.5
y = 1.5 - 2 = -0.5.

Bước 6: Tính giá trị tối thiểu của C.

Thay x = 2 và y = -0.5 vào biểu thức C:

C = 5(2)² + 4(-0.5)² + 8(2)(-0.5) - 16(2) - 12(-0.5) + 2032
= 5(4) + 4(0.25) - 8 - 32 + 6 + 2032
= 20 + 1 - 8 - 32 + 6 + 2032
= 2032 - 13
= 2019.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 2019.