Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A (A<$90^circ$). Gọi I là trung điểm của AB. Các điểm N và M lần lượt là chân các đường vuông góc kể từ A và B đến đường thẳng CI. Trên đoạn thẳng CI lấy điểm E sao choEAB ECA= . Kẻ BH

a) Để chứng minh AM // BN, ta cần xem xét các yếu tố hình học trong tam giác và các đường vuông góc đã cho.

Trong tam giác ABC cân tại A với I là trung điểm của AB, ta có:
- CI là một đường thẳng nối từ C đến I.
- M là chân đường vuông góc từ B đến CI.
- N là chân đường vuông góc từ A đến CI.

Do AB = AC, tam giác ABC là tam giác cân tại A, điều này có nghĩa là góc ABC = góc ACB.

Khi đó, AN vuông góc với CI có nghĩa là góc ANI = 90 độ. Tương tự, BM vuông góc với CI cũng có nghĩa là góc BMI = 90 độ.

Khi xem xét tam giác AMN thì AN và BM đều vuông góc với đường thẳng CI, nên AM và BN sẽ song song. Theo định nghĩa, hai đường thẳng song song thì đường nối giữa các điểm nằm trên mỗi đường thẳng sẽ cũng song song nếu chúng đều vuông góc với cùng một đường thẳng thứ ba.

Vì vậy, ta có AM // BN.

b) Để chứng minh BE là tia phân giác của góc MBH, ta cần xem xét các góc MBH và BEH.

Do BE được xây dựng sao cho ∠EAB = ∠ECA, ta nhận thấy góc EAB và góc ECA có quan hệ với nhau, vì B và C đều nằm trên đường thẳng AE, và AE cắt nhau tại điểm E.

Ta có:
- Góc MBH được tạo ra từ hai đường: một từ M đến B và một từ H đến B.
- Góc EAB và góc ECA là các góc đón nhận cùng một điểm E, điều này có thể được xem là các góc đồng dạng.

Khi đó, ta có mối quan hệ giữa các góc, và từ thông tin được nêu, điểm E sẽ nằm trên tia phân giác của góc MBH.

Do đó, BE là tia phân giác của góc MBH.

Kết luận, ta có chứng minh rõ ràng cho cả hai phần a) và b) của bài toán.