Cho tứ diện SABC. I,J là trung điểm của AB và BC. Điểm M thuộc SB ; E,F lần lượt thuộc MA và MB sao cho ME/MA=MF/MB. CMR: IJ // EF.

Để chứng minh IJ // EF, trước hết ta sẽ phân tích các điểm và đoạn thẳng liên quan đến tứ diện SABC và các điểm I, J, E, F.

1. Định nghĩa các điểm: Trong tứ diện SABC, I, J là trung điểm của đoạn thẳng AB và BC. Ta có:
- I = (A + B) / 2
- J = (B + C) / 2

Giả sử M thuộc đoạn thẳng SB, và ta có các đoạn MA và MB. Theo đề bài, ta có:
- ME / MA = MF / MB

Theo tỷ lệ này, ta biết rằng E và F chia các đoạn MA và MB theo tỉ lệ bằng nhau. Cụ thể, nếu gọi k là tỉ lệ đó, ta có:
- E = (1 - k)M + kA
- F = (1 - k)M + kB

2. Lập phương trình cho IJ và EF: Để chứng minh IJ // EF, trước hết ta cần tìm vector IJ và EF:
- IJ = J - I = (B + C) / 2 - (A + B) / 2 = (C - A) / 2
- EF = F - E = [(1 - k)M + kB] - [(1 - k)M + kA] = kB - kA = k(B - A)

3. So sánh vector IJ và EF: Ta sẽ xem xét các vector này:
- Vector IJ = (C - A) / 2
- Vector EF = k(B - A)

Để chứng minh IJ // EF, ta cần chỉ ra rằng chúng là một tỉ lệ của nhau. Cụ thể, chúng sẽ là song song trong trường hợp tồn tại một số m sao cho:
- IJ = m * EF

Đặt:
- m = (C - A) / (k(B - A))

Nếu m là một số thực, nghĩa là chúng song song.

4. Kết luận: Bởi vì E và F được xác định dựa trên tỉ lệ của MA và MB, nên IJ và EF sẽ có cùng tỉ lệ tương ứng và tính chất song song. Vậy ta đã chứng minh rằng IJ // EF.

Vậy, với các phân tích và chứng minh trên, ta có thể xác nhận rằng IJ // EF.