Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AH . Từ A kẻ đường vuông góc với AC . Từ B kẻ đường song song với AC . Hai đường này cắt nhau tại M . Gọi P là trung điểm của AB . Kẻ MP cắt AC tại

a) Tứ giác AMBQ là hình bình hành. Để chứng minh điều này, ta có thể xem xét các điểm và các đoạn thẳng. Từ điểm A, ta kẻ đường vuông góc với AC, tức là AM vuông góc với AC. Từ điểm B, ta kẻ đường song song với AC, tức là BM song song với AC. Do đó, AM và BM là các đoạn thẳng vuông góc với AC, và vì BM song song với AC, nên AM và MB sẽ bằng nhau. Với điểm P là trung điểm của AB, tức là AP = PB. Kết hợp tất cả các yếu tố, ta có AM = MB và AP = PB, từ đó suy ra tứ giác AMBQ là hình bình hành.

b) Để chứng minh CI = AB, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành AMBQ. Kể từ M, khi MP cắt AC tại Q, ta có MQ song song với AB. Từ đó, mọi đoạn thẳng vuông góc từ M xuống AB (như CI) đều bằng nhau, vì các đoạn này tương đối đồng phẳng và cùng một chiều từ điểm M. Hơn nữa, điểm I thuộc đường thẳng AH, một đường thẳng vuông góc với AC. Vì AMBQ là hình bình hành và có các mặt đối diện bằng nhau, suy ra CI = AB.

c) Để chứng minh tam giác PHQ là tam giác cân, ta sẽ so sánh hai đoạn PH và PQ. Từ điểm P là trung điểm của AB, tức là AP = PB. Do đó, phía trên đoạn MP (với M vuông góc AC), chúng ta thấy rằng đường thẳng MP chia tam giác APB thành hai tam giác AMB và PMB. Hai tam giác này có cạnh chung MB và có đường nối giữa điểm M và P là một đường đồng dạng. Vì MP cắt AC tại Q, và đoạn AQ bằng đoạn QC (do ông chủ đường vuông góc), nên ta có PQ=PH. Do đó, tam giác PHQ là một tam giác cân.