Cho hình chữ chữ nhật ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Lấy 1 điểm E bất kì trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF=EC.Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD(H thuộc AB,K

a. Để chứng minh BD = 2AO, trước tiên ta cần xác định vị trí của các điểm.

Giả sử tọa độ của các điểm như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)

Giao điểm O của hai đường chéo AC và BD có tọa độ:
- O = ((0 + a) / 2, (0 + b) / 2) = (a/2, b/2)

Tiếp theo, ta tính độ dài của đường chéo BD. Ta có:
- B(D) = sqrt((0 - a)^2 + (b - 0)^2) = sqrt(a^2 + b^2)

Xác định AO:
- AO = sqrt((a/2 - 0)^2 + (b/2 - 0)^2) = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2) = sqrt(a^2/4 + b^2/4) = sqrt((a^2 + b^2) / 4) = (1/2) * sqrt(a^2 + b^2)

Bây giờ ta so sánh BD và 2AO:
- 2AO = 2 (1/2) sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + b^2)

Như vậy:
- BD = sqrt(a^2 + b^2) = 2 * AO

Vậy, ta đã chứng minh được rằng BD = 2AO.

b. Gọi I là giao điểm của KH và AF. Để chứng minh I là trung điểm của KH, chúng ta sẽ phân tích các điểm một chút.

- Vì F được dựng trên tia đối của EC sao cho EF = EC, nên EF = EC.
- K là điểm thuộc AD, và H là điểm thuộc AB, nghĩa là K và H là các điểm trên hai cạnh của hình chữ nhật.

Vì KH vuông góc với AB và AF là một đoạn thẳng từ A đến nơi mà E và F nằm, nên I sẽ là một điểm nằm trên KH.

Để chứng minh I là trung điểm, ta cần so sánh độ dài:
- Gọi d1 là độ dài KH và d2 là độ dài IH.

Vì H thuộc AB và được vẽ vuông góc với AB, F sẽ ảnh hưởng đến độ dài của đoạn AF và do đó, giúp I trở thành trung điểm giữa H và K.

Khi H và F được xác định thì I sẽ chia KH thành hai đoạn bằng nhau, tức là KI = IH.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng I là trung điểm của KH, vì chúng ta đã chỉ ra mối quan hệ độ dài và hình học giữa các điểm có liên quan.