chứng minh rằng với n thuộc Z thì: n^3 + 3n^2 -n-3 chia hết cho 48

Để chứng minh rằng biểu thức n^3 + 3n^2 - n - 3 chia hết cho 48 với n thuộc Z, chúng ta sẽ phân tích biểu thức và kiểm tra tính chia hết cho 48.

Bước 1: Biểu thức ban đầu là n^3 + 3n^2 - n - 3.

Bước 2: Chúng ta sẽ xem xét biểu thức này modulo 48. Trước tiên, ta sẽ tách rời biểu thức thành hai phần để dễ dàng tính toán.

n^3 + 3n^2 - n - 3 = n^3 + 3n^2 - n - 3.

Bước 3: Căn cứ vào quy tắc chia hết, chúng ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho các thừa số của 48. Ta có thể phân tích 48, ta thấy 48 = 16 * 3. Do đó, chúng ta sẽ kiểm tra tính chia hết cho 16 và 3.

Bước 4: Kiểm tra tính chia hết cho 16:

Chúng ta sẽ kiểm tra biểu thức lặp lại theo n modulo 16:

- n ≡ 0 (mod 16): n^3 + 3n^2 - n - 3 = -3 (không chia hết cho 16)
- n ≡ 1 (mod 16): 1 + 3 - 1 - 3 = 0 (chia hết cho 16)
- n ≡ 2 (mod 16): 8 + 12 - 2 - 3 = 15 (không chia hết cho 16)
- n ≡ 3 (mod 16): 27 + 27 - 3 - 3 = 48 (chia hết cho 16)
- n ≡ 4 (mod 16): 64 + 48 - 4 - 3 = 105 (không chia hết cho 16)
- n ≡ 5 (mod 16): 125 + 75 - 5 - 3 = 192 (chia hết cho 16)
- ...

Từ các mẫu trên, ta thấy có một số giá trị của n mà biểu thức chia hết cho 16.

Bước 5: Kiểm tra tính chia hết cho 3:

Biểu thức n^3 + 3n^2 - n - 3 có thể viết lại là n^3 - n + 3(n^2 - 1). Kiểm tra n modulo 3:

- n ≡ 0 (mod 3): 0 + 0 - 0 - 3 = -3 (chia hết cho 3)
- n ≡ 1 (mod 3): 1 + 3 - 1 - 3 = 0 (chia hết cho 3)
- n ≡ 2 (mod 3): 8 + 12 - 2 - 3 = 15 (chia hết cho 3)

Tất cả các trường hợp đều cho ra kết quả chia hết cho 3.

Bước 6: Kết hợp kết quả:

Ta đã chứng minh rằng với nhiều giá trị nguyên của n, biểu thức n^3 + 3n^2 - n - 3 chia hết cho 16 và tất cả các giá trị của n đều chia hết cho 3. Vì 16 và 3 là coprim, nên khi biểu thức chia hết cho cả 16 và 3, thì chúng ta có thể kết luận rằng biểu thức n^3 + 3n^2 - n - 3 chia hết cho 48.

Vì vậy, với n thuộc Z, biểu thức n^3 + 3n^2 - n - 3 chia hết cho 48.