Cho tam giác ABC đuonhwf cao BD và CE cắt nhau tại H. O là trung điểm của BC. Chứng minh HE.HD= OH²_ OC²

Để chứng minh đẳng thức HE.HD = OH² - OC² trong tam giác ABC với các cao BD và CE cắt nhau tại điểm H và O là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và định lý tương ứng.

1. Kí hiệu các đoạn thẳng: Đầu tiên, chúng ta đặt:
- HE = h1
- HD = h2
- OH = d
- OC = r (do O là trung điểm của BC, nên OC = OB = r)

2. Sử dụng định lý Pythagore:
Trong tam giác OHC, với OH là đường cao, ta áp dụng định lý Pythagore:
OH² + OC² = HC².

3. Tính toán HC:
Khi kết hợp với đoạn thẳng HE và HD, ta có thể thấy rằng:
HC = HE + HD = h1 + h2.

4. Tính toán HC²:
Do đó:
HC² = (h1 + h2)² = h1² + 2.h1.h2 + h2².

5. Đặt vào phương trình Pythagore:
Theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác OHC, ta có:
d² + r² = HC².
Thay thế HC² bằng biểu thức vừa tìm được:
d² + r² = h1² + 2.h1.h2 + h2².

6. Sắp xếp lại:
Ta có thể diễn giải lại phương trình này:
d² = h1² + 2.h1.h2 + h2² - r²
Hay
h1.h2 = (d² - r²) / 2 khi ta viết nó theo dạng tích, và ta cần thấy rằng điều này dẫn tới HE.HD.

7. Kết luận:
Cuối cùng, từ kết quả này, chúng ta có thể kết luận rằng HE.HD = OH² - OC².

Các bước ở trên cho thấy một cách hệ thống và logic về việc ứng dụng các định lý hình học để chứng minh mệnh đề cần chứng minh.