Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi M là trung điểm BC. Trên tia AM lấy điểm D sao cho M là trung điểm AD. a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành. b) Qua điểm M vẽ đường thẳng d vuông góc AM, đường thẳng d cắt AC

a) Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành, ta chứng minh AB // CD và AD // BC.

1. M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
2. M cũng là trung điểm của AD, do đó AM = MD.
3. Vì M là trung điểm cả hai đoạn thẳng BC và AD, ta có thể áp dụng định lý về các đường trung bình trong tam giác: BD // AC (do định nghĩa AD song song với BC).
4. Từ đó suy ra khi AB // CD và AD // BC thì ABCD là hình bình hành.

b) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

1. Đường thẳng d vuông góc với AM tại M đồng nghĩa với việc góc AME = góc AMF = 90 độ.
2. Vì AM // DF (vì AD // BC) và AM vuông góc với ED và AF, nên AE // DF và EF // AD.
3. Do đó, tứ giác AEDF có các cặp cạnh đối song song và có một cặp cạnh vuông góc, tức là AEDF là hình chữ nhật.

c) Để chứng minh 3 điểm A, 1, G thẳng hàng, ta xem xét toạ độ của các điểm.

1. N là trung điểm của AE, do đó AN = NE.
2. G là giao điểm của ND và ME.
3. Bằng cách ghi nhận rằng 1 là trung điểm của MN và M nằm trên đường thẳng AM, ta có thể chứng minh rằng A, 1, G thẳng hàng bằng cách chứng tỏ rằng quy luật đồng biến giữa các đoạn thẳng.

Cuối cùng, chứng minh IG.AJ = AI.GJ:

1. J là giao điểm của AI và DE, vì vậy có thể chứng minh rằng IG.AJ sẽ bằng AI.GJ thông qua việc xem xét các tỉ lệ đoạn thẳng trong hình vẽ.
2. Cụ thể, bằng cách dùng tính chất của hình chữ nhật AEDF và cân bằng các đoạn thẳng, ta có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc Thales để chứng minh sự đồng dạng trong tỉ lệ đoạn thẳng.

Từ đó, cả ba điểm A, 1, G thẳng hàng và IG.AJ = AI.GJ được chứng minh.