Cho A = 7+7^2+7^3+7^4+...+7^100. Tìm x biết 6A+7=7^2x+1

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta sẽ tính giá trị của A. A là tổng của một chuỗi số hạng số mũ với cơ số là 7, cụ thể là:

A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^100.

Đây là một chuỗi hình học, với a = 7 (số hạng đầu), r = 7 (tỷ lệ chung) và số hạng cuối là 7^100.

Tổng của một chuỗi hình học có thể được tính bằng công thức:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r).

Trong trường hợp này, n = 100 (số hạng từ 7^1 đến 7^100), vậy chúng ta cần điều chỉnh một chút để phù hợp với công thức:

A = 7 * (1 - 7^(100)) / (1 - 7)
= 7 * (1 - 7^100) / (-6)
= - (7/6) * (1 - 7^100)
= (7^101 - 7) / 6.

Từ đây, chúng ta sẽ tính giá trị của 6A + 7:

6A + 7 = 6 * (7^101 - 7) / 6 + 7
= (7^101 - 7) + 7
= 7^101.

Bây giờ, chúng ta quay lại phương trình cần giải:

6A + 7 = 7^2x + 1.

Thay 6A + 7 bằng 7^101, ta có:

7^101 = 7^2x + 1.

Bây giờ, chuyển 1 sang bên trái ta có:

7^101 - 1 = 7^2x.

Chúng ta sử dụng cách phân tích hằng đẳng thức. Biết rằng 7^101 - 1 có thể được viết thành một tích với những hằng số có dạng 7^k - 1.

Chia cả hai bên cho 7^2:

(7^101 - 1) / 7^2 = 7^2x / 7^2.

Ta có:

7^(101 - 2) - (1 / 7^2) = 7^x,

hay

7^99 - (1/49) = 7^x.

Nhận thấy rằng, nếu x = 99, thì ta xác định được rằng:

7^99 - (1/49) sẽ gần như bằng 7^99, vì (1/49) là một số rất nhỏ. Tuy nhiên, để truyền đạt rõ ràng, ta nhận thấy rằng giá trị lớn nhất mà x có thể tương ứng với 7^x trong trường hợp này sẽ là 99. Do không có số hạng dương nào có chứa thành phần nhỏ hơn, với một phần dư - (1/49) không thể làm thay đổi điều đó.

Giải quyết x:

x = 99.

Vậy kết quả cuối cùng là x = 99.