2) Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC. (D thuộc AB, E thuộc AC). a) Chứng minh AM = DE. b) Chứng minhDEA BCA= và tứ giác DECM là hình bình hành

a) Để chứng minh AM = DE, ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và trung tuyến.

Trong tam giác vuông ABC với A là góc vuông, AM là trung tuyến ứng với cạnh BC, do đó AM có độ dài bằng nửa độ dài của cạnh BC.

Bây giờ, hãy xem xét các điểm D và E. MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC. Theo định nghĩa của trung tuyến và tính chất vuông góc, các đoạn MD và ME có thể tạo thành các tam giác vuông AMD và AME tương ứng.

Tam giác AMD và AME đều có cạnh AM là cạnh chung và đoạn ED là cạnh phản diện. Do đoạn MD vuông góc với AB nên có thể áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMD, và tương tự với tam giác AME.

Khi đó, theo tính chất của trung tuyến trong tam giác vuông, chiều dài các đoạn DE và AM sẽ đều tương đương với nhau. Do đó, ta có AM = DE.

b) Để chứng minh DEA và BCA là đồng dạng và tứ giác DECM là hình bình hành, ta tiến hành như sau:

1. Đồng dạng DEA và BCA:

Kẻ góc vuông với các cạnh AB và AC để tạo ra D và E. Vì A là góc vuông trong tam giác ABC, nên góc BAC = góc DEA = 90 độ. Đồng thời, góc ACD = góc ABE (cùng một góc đối diện tại A).

Từ đó, ta có hai góc tương ứng bằng nhau:

- Góc DEA = góc BCA
- Góc A = góc A (cùng bằng 90 độ).

Theo điều kiện góc-góc, ta suy ra rằng hai tam giác DEA và BCA đồng dạng, tức là DEA ~ BCA.

2. Tứ giác DECM là hình bình hành:

Để chứng minh rằng DECM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai đoạn DE và CM là song song cũng như có độ dài bằng nhau.

Vì DE song song với BC (do DE vuông góc với AB và AC, trong khi BC nằm ngang), ta có khả năng xác định hai đoạn này bằng nhau qua định lý đồng dạng đã chứng minh ở trên.

Ngoài ra, dựa vào định nghĩa của tứ giác, nếu hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, tứ giác đó sẽ là hình bình hành.

Do đó, ta có thể kết luận rằng DECM là hình bình hành.

Tóm lại, cả hai yêu cầu trong bài toán đều được chứng minh dựa theo các tính chất của tam giác vuông, trung tuyến và tính chất của hình bình hành.