cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ trên BC. vẽ đường thẳng MN// AC( N thuộc AB ) đường thẳng MP//AB (P thuộc AC ) CM AN//AB + AP//AC = 1

Trong bài toán này, chúng ta có tam giác ABC và một điểm M thuộc cạnh BC. Từ điểm M, chúng ta vẽ hai đường thẳng: MN song song với AC và MP song song với AB. Với N thuộc AB và P thuộc AC, yêu cầu là chứng minh rằng AN/AB + AP/AC = 1.

Để giải thích bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác và các đường thẳng song song.

1. Thiết lập tỉ lệ:
- Khi MN song song với AC, theo định lý Thales, ta có tỉ lệ:
AN/AB = MN/AC.
- Tương tự, khi MP song song với AB, cũng theo định lý Thales, ta có tỉ lệ:
AP/AC = MP/AB.

2. Tạo ra một hệ thức:
- Ta đã thiết lập được hai tỉ lệ, bây giờ cần biểu diễn tỉ lệ của AN và AP dưới dạng tỉ lệ của các đoạn thẳng liên quan trong tam giác.
- Từ quan sát, ta thấy tỉ lệ MN/AC liên quan đến AN/AB, và tỉ lệ MP/AB liên quan đến AP/AC.

3. Áp dụng quy tắc về tỉ lệ:
- Ta có thể viết AN = k AB cho một số k nào đó (được xác định bởi vị trí của M trên BC) và AP = (1 - k) AC.
- Mục tiêu là chứng minh rằng tổng hai tỉ lệ này là 1.

4. Chứng minh tổng tỉ lệ:
- Thay các giá trị vào biểu thức AN/AB + AP/AC, ta có:
AN/AB + AP/AC = k + (1 - k) = 1.
- Điều này có nghĩa là tỉ lệ của đoạn AN và AP là bổ sung cho nhau, tức là tổng của chúng luôn luôn bằng 1, cho dù vị trí của điểm M thay đổi như thế nào trên cạnh BC.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng AN/AB + AP/AC = 1 là một hệ quả hiển nhiên từ các tính chất của đoạn thẳng trong tam giác và quy tắc Thales.