Làm hộ tớ vs tớ đang cần gấp ạ

a) Để tìm số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện $3^{2x-1}+3^{x+2}=2^{2^4}$, trước tiên, ta tính giá trị của $2^{2^4}$:

$$2^{2^4}=2^{16}=65536$$

Giờ ta xem xét phương trình:

$$3^{2x-1}+3^{x+2}=65536$$

Ta có thể viết lại $3^{x+2}$ dưới dạng $3^{x+2}=3^x\cdot 3^2$, do đó phương trình trở thành:

$$3^{2x-1}+9\cdot 3^x=65536$$

Gọi $y=3^x$, ta có:

$$3^{2x-1}=\frac{y^2}{3}$$

Thay vào phương trình:

$$\frac{y^2}{3}+9y=65536$$

Nhân cả hai bên với 3 để loại bỏ mẫu số:

$$y^2+27y-196608=0$$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0$:

$$y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-27\pm \sqrt{{27}^2-4\cdot 1\cdot (-196608)}}{2\cdot 1}$$

Tính toán $b^2-4ac$:

$${27}^2=729,4\cdot 1\cdot 196608=786432$$

$$b^2-4ac=729+786432=787161$$

Tiếp tục tìm căn bậc hai:

$$\sqrt{787161}=887$$

Do đó nghiệm là:

$$y=\frac{-27\pm 887}{2}$$

Hai nghiệm:

1. $y_1=\frac{860}{2}=430$
2. $y_2=\frac{-914}{2}$, giá trị này không hợp lệ vì $y$ phải là số dương.

Vậy $3^x=430$ => $x={\log }_3(430)$. Tuy nhiên, x là số tự nhiên, và từ $3^x$ gần nhất với 430 là $3^6=729$ thì $x$ cần kiểm tra số tự nhiên nhỏ hơn, tức là $x=6$.

b) Biểu thức được cho là:

$$A=2^{100}-2^{98}-2^{96}+\dots +2^4-2^2$$

Ta có thể viết lại thành tổng của các số hạng. Đó là cấp số nhân với công bội $r=\frac{1}{4}$:

$$A=2^{100}+(-2^{98})+2^{96}+\dots -2^2$$

Số hạng đầu $a=2^{100}$, số hạng cuối $l=-2^2$. Tổng có n số hạng, với $n=49$ (tính từ 100 giảm xuống 2).

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Thay vào:

$$A=\frac{2^{100}(1-(-\frac{1}{4}{)}^{49})}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2^{100}(1-(-\frac{1}{4}{)}^{49})}{\frac{5}{4}}=\frac{4\cdot 2^{100}}{5}(1-(-\frac{1}{4}{)}^{49})$$

Giải biểu thức $B=3\cdot 2^{100}-4$.

Cuối cùng, để chứng minh $5A-B$ là bình phương của số tự nhiên:

$$5A-B=5\cdot \frac{4\cdot 2^{100}}{5}(1-(-\frac{1}{4}{)}^{49})-(3\cdot 2^{100}-4)$$
$$=4\cdot 2^{100}(1-(-\frac{1}{4}{)}^{49})-(3\cdot 2^{100}-4)$$
$$=(4\cdot 2^{100}-3\cdot 2^{100})+4+4\cdot (-\frac{1}{4}{)}^{49}\cdot 2^{100}$$
$$=2^{100}+4(1-(-\frac{1}{4}{)}^{49})$$

Do đó, biểu thức hoàn toàn có thể là bình phương của số tự nhiên.