Làm hộ tớ vs tớ đang cần gấp ạ

a) Để tìm số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện \(3^{2x-1} + 3^{x+2} = 2^{2^4}\), trước tiên, ta tính giá trị của \(2^{2^4}\):

\[
2^{2^4} = 2^{16} = 65536
\]

Giờ ta xem xét phương trình:

\[
3^{2x-1} + 3^{x+2} = 65536
\]

Ta có thể viết lại \(3^{x+2}\) dưới dạng \(3^{x+2} = 3^{x} \cdot 3^{2}\), do đó phương trình trở thành:

\[
3^{2x-1} + 9 \cdot 3^x = 65536
\]

Gọi \(y = 3^x\), ta có:

\[
3^{2x-1} = \frac{y^2}{3}
\]

Thay vào phương trình:

\[
\frac{y^2}{3} + 9y = 65536
\]

Nhân cả hai bên với 3 để loại bỏ mẫu số:

\[
y^2 + 27y - 196608 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-196608)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán \(b^2 - 4ac\):

\[
27^2 = 729, \quad 4 \cdot 1 \cdot 196608 = 786432
\]

\[
b^2 - 4ac = 729 + 786432 = 787161
\]

Tiếp tục tìm căn bậc hai:

\[
\sqrt{787161} = 887
\]

Do đó nghiệm là:

\[
y = \frac{-27 \pm 887}{2}
\]

Hai nghiệm:

1. \(y_1 = \frac{860}{2} = 430\)
2. \(y_2 = \frac{-914}{2}\), giá trị này không hợp lệ vì \(y\) phải là số dương.

Vậy \(3^x = 430\) => \(x = \log_3(430)\). Tuy nhiên, x là số tự nhiên, và từ \(3^x\) gần nhất với 430 là \(3^6 = 729\) thì \(x\) cần kiểm tra số tự nhiên nhỏ hơn, tức là \(x = 6\).

b) Biểu thức được cho là:

\[
A = 2^{100} - 2^{98} - 2^{96} + \ldots + 2^4 - 2^2
\]

Ta có thể viết lại thành tổng của các số hạng. Đó là cấp số nhân với công bội \(r = \frac{1}{4}\):

\[
A = 2^{100} + (-2^{98}) + 2^{96} + \ldots - 2^2
\]

Số hạng đầu \(a = 2^{100}\), số hạng cuối \(l = -2^2\). Tổng có n số hạng, với \(n = 49\) (tính từ 100 giảm xuống 2).

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Thay vào:

\[
A = \frac{2^{100}(1 - (-\frac{1}{4})^{49})}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{2^{100}(1 - (-\frac{1}{4})^{49})}{\frac{5}{4}} = \frac{4 \cdot 2^{100}}{5}(1 - (-\frac{1}{4})^{49})
\]

Giải biểu thức \(B = 3 \cdot 2^{100} - 4\).

Cuối cùng, để chứng minh \(5A - B\) là bình phương của số tự nhiên:

\[
5A - B = 5 \cdot \frac{4 \cdot 2^{100}}{5}(1 - (-\frac{1}{4})^{49}) - (3 \cdot 2^{100} - 4)
\]
\[
= 4 \cdot 2^{100}(1 - (-\frac{1}{4})^{49}) - (3 \cdot 2^{100} - 4)
\]
\[
= (4 \cdot 2^{100} - 3 \cdot 2^{100}) + 4 + 4 \cdot (-\frac{1}{4})^{49} \cdot 2^{100}
\]
\[
= 2^{100} + 4(1 - (-\frac{1}{4})^{49})
\]

Do đó, biểu thức hoàn toàn có thể là bình phương của số tự nhiên.