Chứng minh đẳng thức `6, (x^2-2xy - 3y^2) /(x^2-4xy + 3y^2) = (x+y)/(x-y)`

Để chứng minh đẳng thức

\[
6 \cdot \frac{x^2 - 2xy - 3y^2}{x^2 - 4xy + 3y^2} = \frac{x+y}{x-y},
\]

ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích cả hai biểu thức bên trái và bên phải.

Bước 1: Phân tích tử và mẫu của biểu thức bên trái

- Tử: \( x^2 - 2xy - 3y^2 \)

Ta cần phân tích \( x^2 - 2xy - 3y^2 \). Ta tìm hai số có tổng là -2 và tích là -3:

Số đó là -3 và 1.

Vậy ta có thể viết:

\[
x^2 - 2xy - 3y^2 = (x-3y)(x+y).
\]

- Mẫu: \( x^2 - 4xy + 3y^2 \)

Tương tự, ta phân tích mẫu \( x^2 - 4xy + 3y^2 \). Ta tìm hai số có tổng là -4 và tích là 3:

Số đó là -3 và -1.

Vậy ta có thể viết:

\[
x^2 - 4xy + 3y^2 = (x-3y)(x-y).
\]

Bước 2: Thay thế vào biểu thức ban đầu

Với kết quả phân tích trên, ta có:

\[
6 \cdot \frac{(x - 3y)(x + y)}{(x - 3y)(x - y)}.
\]

Bước 3: Rút gọn

Điều này cho phép ta rút gọn \( (x - 3y) \) từ tử và mẫu:

\[
= 6 \cdot \frac{x + y}{x - y}.
\]

Bước 4: So sánh với vế phải của đẳng thức

Vì vậy, ta có:

\[
6 \cdot \frac{x + y}{x - y} = \frac{x + y}{x - y} \cdot 6.
\]

Như vậy, cả hai vế đều bằng nhau. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ban đầu là đúng.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng

\[
6 \cdot \frac{x^2 - 2xy - 3y^2}{x^2 - 4xy + 3y^2} = \frac{x+y}{x-y}
\]

là đúng với điều kiện \( x \neq 3y \) và \( x \neq y \).