;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Để giải phương trình \( x^2 y + x + y - 6z = yz(xy + 1) \) và tìm các số nguyên dương \( x, y, z \), ta sẽ phân tích và chuyển đổi phương trình.

Phương trình có thể được viết lại như sau:

\[
x^2 y + x + y - 6z - yz(xy + 1) = 0
\]

Ta có thể nhóm các hạng tử lại như sau:

\[
x^2 y + x + y - yz(xy + 1) - 6z = 0
\]

Từ đây, ta có thể tìm ra giá trị của \( z \) theo các giá trị của \( x \) và \( y \).

1. Chuyển đổi về \( z \):

Ta có thể sắp xếp lại để tìm \( z \):

\[
z(y(xy + 1) - 6) = x^2 y + x + y
\]

Suy ra:

\[
z = \frac{x^2 y + x + y}{y(xy + 1) - 6}
\]

2. Xét điều kiện tồn tại của \( z \):

Để \( z \) là số nguyên dương, điều kiện \( y(xy + 1) - 6 \) phải khác 0 và dương. Điều này cũng có nghĩa là:

\[
y(xy + 1) > 6
\]

Để đơn giản hóa, ta sẽ thử một số giá trị nguyên dương cho \( x \) và \( y \).

3. Thử các giá trị nguyên dương của \( x \) và \( y \):

- Thử \( x = 1 \):
- \( y(1y + 1) > 6 \) ⇒ \( y^2 + y > 6 \) ⇒ giải phương trình \( y^2 + y - 6 > 0 \) cho thấy \( y > 2 \ or \ y < -3 \). Vì \( y \) là số nguyên dương, ta có \( y \geq 3 \).

- Thử \( y = 3 \):
\[
z = \frac{1^2 \cdot 3 + 1 + 3}{3(1 \cdot 3 + 1) - 6} = \frac{3 + 1 + 3}{3(4) - 6} = \frac{7}{12} \, \text{(không phải số nguyên)}
\]

- Thử \( y = 4 \):
\[
z = \frac{1^2 \cdot 4 + 1 + 4}{4(1 \cdot 4 + 1) - 6} = \frac{4 + 1 + 4}{4(5) - 6} = \frac{9}{14} \, \text{(không phải số nguyên)}
\]

- Tiếp tục tìm với các giá trị \( x = 2 \):

1. Thử \( x = 2 \):
- Với \( y = 1 \), kiểm tra:
\[
z = \frac{2^2 \cdot 1 + 2 + 1}{1(2 \cdot 1 + 1) - 6} = \frac{4 + 2 + 1}{1(3) - 6} = \frac{7}{-3} \, \text{(không phải số nguyên)}
\]

2. Thử \( y = 2 \):
\[
z = \frac{2^2 \cdot 2 + 2 + 2}{2(2 \cdot 2 + 1) - 6} = \frac{8 + 2 + 2}{2(5) - 6} = \frac{12}{4} = 3 \, \text{(là số nguyên)}
\]

Vậy ta có các số nguyên dương thỏa mãn là \( x = 2, y = 2, z = 3 \).

Tóm lại, một nghiệm là \( (x, y, z) = (2, 2, 3) \).

Kiểm tra lại giá trị để chắc chắn:

\[
2^2 \cdot 2 + 2 + 2 - 6 \cdot 3 = 2 \cdot 3(2 \cdot 2 + 1)
\]

Kết luận: Các số nguyên dương \( x = 2, y = 2, z = 3 \) thỏa mãn phương trình đã cho.