Bài 5 (0,5điểm) (Học sinh chọn một trong hai ý) a) Tìm số nguyên n biết 2n + 3 chia hết cho 3n+2

Để tìm số nguyên \( n \) sao cho \( 2n + 3 \) chia hết cho \( 3n + 2 \), ta cần giải phương trình:

\[ 2n + 3 \equiv 0 \pmod{3n + 2} \]

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[ 2n + 3 = k(3n + 2) \]

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:

\[ 2n + 3 = 3kn + 2k \]

Chuyển các số hạng chứa \( n \) về một bên:

\[ 2n - 3kn = 2k - 3 \]

\[ n(2 - 3k) = 2k - 3 \]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, \( 2 - 3k \) phải là ước của \( 2k - 3 \). Ta sẽ xem xét từng giá trị của \( k \) để tìm nghiệm:

1. Nếu \( k = 1 \):
\[ n(2 - 3 \cdot 1) = 2 \cdot 1 - 3 \]
\[ n(-1) = -1 \]
\[ n = 1 \]

Kiểm tra lại:
\[ 2(1) + 3 = 5 \]
\[ 3(1) + 2 = 5 \]
Thấy rằng \( 5 \) chia hết cho \( 5 \), nên \( n = 1 \) là nghiệm.

2. Nếu \( k = 0 \):
\[ n(2 - 3 \cdot 0) = 2 \cdot 0 - 3 \]
\[ n(2) = -3 \]
Phương trình này không có nghiệm nguyên.

3. Nếu \( k = -1 \):
\[ n(2 - 3 \cdot (-1)) = 2 \cdot (-1) - 3 \]
\[ n(5) = -5 \]
\[ n = -1 \]

Kiểm tra lại:
\[ 2(-1) + 3 = 1 \]
\[ 3(-1) + 2 = -1 \]
Thấy rằng \( 1 \) không chia hết cho \(-1\), nên \( n = -1 \) không phải là nghiệm.

Với các giá trị khác của \( k \), phương trình sẽ không còn đơn giản để kiểm tra hoặc sẽ không tồn tại nghiệm nguyên.

Vậy, số nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện là \( n = 1 \).